一、选择题(每小题5分,共30分)
1.化简a+的结果是( )
A.1 B.2a-1
C.1或2a-1 D.0
答案:C
a+=a+|1-a|=1或2a-1.
2.给出下列等式:①=a3,②=a2,③a=,④a=a,⑤logab2=2logab,⑥lg a·lg b=lg (a+b),其中一定成立的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案:B
解析:①中,==|a3|,不一定等于a3;②中,==a2,成立;③中,a=,不一定等于;④中,a===a,成立;⑤中,当b<0时,logab无意义,故⑤中等式不一定成立;⑥中,若a=b=10,则lg a·lg b=lg 10·lg 10=1,lg (a+b)=lg 20=1+lg 2,lg a·lg b≠lg (a+b),故⑥中等式不一定成立.故选B.
3.已知loga<logb,则下列不等式中一定成立的是( )
A.a<b B.>
C.ln (a-b)>0 D.3a-b<1
答案:A
解析:由loga<logb,得a>b>0,所以a<b<b.选A.
4.已知f(x)=在R上是减函数,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1) B.
C. D.(1,+∞)
答案:B
解析:由已知,得⇒⇒≤a<1,所以实数a的取值范围是.
5.若f(x)是偶函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg (2x-1),则f(x-1)<0的解集是( )
A.(0,1)∪(1,2) B.(-∞,0)∪(1,2)
C.(1,2) D.(-1,0)
答案:A
解析:由题意,知f(x)=,∴当x-1>0,即x>1时,由f(x-1)=lg (2x-1-1)<0,得2x-1-1<1,2x-1<2,x-1<1,即x<2,又x>1,∴1<x<2;当x-1<0,即x<1时,由f(x-1)=lg (2-x+1-1)<0,得21-x-1<1,21-x<2,1-x<1,即x>0,又x<1,∴0<x<1.综上,得f(x-1)<0的解集是(0,1)∪(1,2),选A.
6.函数y=在(-e,0)∪(0,e)上的大致图象是( )
答案:D
解析:函数为奇函数,排除A,B,当x>1时,y>0,排除C,故选D.
二、填空题(每小题5分,共15分)
7.若偶函数f(x)=x的定义域为[3a,a2+2],则实数a的值为________.
答案:-1
解析:∵f(x)是偶函数,∴a2+2=-3a,即a2+3a+2=0,解得a=-1或a=-2.当a=-1时,f(x)=x=,∴f(-x)===f(x),此时f(x)是偶函数;当a=-2时,f(x)=x,∴f(-x)=-x=-f(x),此时f(x)是奇函数.故a=-1.
8.已知定义域为R的偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f=0,则不等式f(log4x)>0的解集是________.
答案:{x|x>2或0<x<}
解析:∵f(x)是偶函数,∴f(x)在(-∞,0)上是减函数.∴f(log4x)>0可转化为log4x>或log4x<-.∴x>2或0<x<.
9.已知函数f(x)=,则使f(x)=的x的集合是________.
答案:
解析:当x≤0时,由2x=,得x=-1.当x>0时,由|log2x|=,得log2x=或log2x=-.由log2x=,得x=,由log2x=-,得x=2-==.故应填.
三、解答题(本大题共4小题,共45分)
10.(12分)函数f(x)=lg 的定义域为集合A,关于x的不等式22x<2a+x(a∈R)的解集为集合B,求使A∩B=A成立的实数a的取值范围.
解:由>0,得或,
解得1<x<2,即A={x|1<x<2}.
∵y=2x是R上的增函数,22x<2a+x,
∴x<a,
∴B={x|x<a}.
∵A∩B=A,∴A⊆B,∴2≤a,
∴a的取值范围是[2,+∞).
11.(13分)已知函数f(x)=b·ax(a,b为常数且a>0,a≠1,b≠0)的图象经过点A(1,8),B(3,32).
(1)试求a,b的值;
(2)若不等式x+x-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)∵函数f(x)=b·ax的图象经过点A(1,8),B(3,32),
∴,又a>0,∴a=2,b=4.
(2)由题意,知m≤x+x在x∈(-∞,1]时恒成立.
设g(x)=x+x,x∈(-∞,1],
则m≤g(x)min.
∵g(x)在(-∞,1]上是减函数,
∴g(x)min=g(1)=+=,
∴m≤.
故实数m的取值范围为.
能力提升
12.(5分)若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=( )
A. B.3
C. D.4
答案:C
解析:由2x+2x=5得2x=5-2x,作出草图,如图所示.
数形结合可知1<x1<;由2x+2log2(x-1)=5得log2(x-1)=-x,同理可知2<x2<.
所以3<x1+x2<4,结合选项可知选C.
13.(15分)设f(x)=lg,其中a∈R,如果当x∈(-∞,1]时,f(x)有意义,求a的取值范围.
解:解法1:令2x=t,t∈(0,2],
则问题转化为at2+t+1>0,在t∈(0,2]上恒成立.
设g(t)=at2+t+1,
则当a=0时,g(t)=t+1在(0,2]上恒有g(t)>0;
当a>0时,g(t)的对称轴t=-<0,
且其图象恒过(0,1)点,所以在(0,2]上g(t)>0;
当a<0时,g(t)的对称轴t=->0,只需g(2)>0即可,即4a+3>0,解得-<a<0.
综上所述,a的取值范围是a>-.
解法2:分离参数法:设=t,则t∈,
则1+2x+4xa>0在x∈(-∞,1]上恒成立可转化为a>-t2-t在t∈上恒成立,
则a就大于φ(t)=-t2-t=-2+的最大值.
由二次函数知识知φ(t)max=φ=-1+=-.所以a>-.