一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
1.函数f(x)=sin2(2x-)的最小正周期是______.
2.sin 15°cos 75°+cos 15°sin 105°=________.
3.已知α∈(,π),sin α=,则tan(α+)=__________.
4.函数f(x)=sin x-cos x(x∈[-π,0])的单调递增区间是________.
5.化简:的结果为______.
6.已知sin αcos β=1,则sin(α-β)=________.
7.若函数f(x)=sin(x+)+asin(x-)的一条对称轴方程为x=,则a=________.
8.函数y=sin 2x+sin2x,x∈R的值域是______.
9.若3sin θ=cos θ,则cos 2θ+sin 2θ的值等于______.
10.已知3cos(2α+β)+5cos β=0,则tan(α+β)tan α的值为________.
11.若cos =,sin =-,则角θ的终边一定落在直线________上.
12.若0<α<<β<π,且cos β=-,sin(α+β)=,则cos α=________.
13.函数y=sin(x+10°)+cos(x+40°),(x∈R)的最大值是________.
14.使奇函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)在[-,0]上为减函数的所有θ的集合为______.
二、解答题(本大题共6小题,共90分)
15.(14分)已知sin(α+)=-,α∈(0,π).
(1)求的值;
(2)求cos(2α-)的值.
16.(14分)已知函数f(x)=2cos xsin x+2cos2x-.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值;
(3)求函数f(x)的单调增区间.
17.(14分)已知向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,-sin ),且x∈[-,].
(1)求a·b及|a+b|;
(2)若f(x)=a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.
18.(16分)已知△ABC的内角B满足2cos 2B-8cos B+5=0,若=a,=b且a,b满足:a·b=-9,|a|=3,|b|=5,θ为a,b的夹角.
(1)求角B;
(2)求sin(B+θ).
19.(16分)已知向量m=(-1,cos ωx+sin ωx),n=(f(x),cos ωx),其中ω>0,且
m⊥n,又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴的间距为.
(1)求ω的值;
(2)设α是第一象限角,且f(α+)=,求的值.
20.(16分)已知函数f(x)=sin 2xsin φ+cos2xcos φ-sin(+φ)(0<φ<π),其图象过点(,).
(1)求φ的值;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在[0,]上的最大值和最小值.
第3章 三角恒等变换(B)
1.
解析 ∵f(x)=[1-cos(4x-)]
=-sin 4x
∴T==.
2.1
解析 原式=sin 15°cos 75°+cos 15°sin 75°=sin 90°=1.
3.
解析 ∵α∈(,π),sin α=,
∴cos α=-,
tan α==-.
∴tan(α+)===.
4.[-,0]
解析 f(x)=sin x-cos x=2sin(x-).
令2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z),
得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),
令k=0得-≤x≤.
由此可得[-,0]符合题意.
5.
解析 原式=
==sin 60°=.
6.1
解析 ∵sin αcos β=1,
∴sin α=cos β=1,或sin α=cos β=-1,
∴cos α=sin β=0.
∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=sin αcos β=1.
7.
解析 f(x)=sin(x+)-asin(-x)
=sin(x+)-acos(+x)
=sin(x+-φ)
∴f()=sin +asin
=a+=.
解得a=.
8.
解析 y=sin 2x+sin2x=sin 2x+
=sin 2x-cos 2x+
=sin(2x-)+,
∵x∈R,
∴-1≤sin(2x-)≤1,
∴y∈[-+,+].
9.
解析 ∵3sin θ=cos θ,∴tan θ=.
cos 2θ+sin 2θ=cos2θ-sin2θ+2sin θcos θ
=
===.
10.-4
解析 3cos(2α+β)+5cos β
=3cos(α+β)cos α-3sin(α+β)sin α+5cos(α+β)cos α+5sin(α+β)sin α=0,
∴2sin(α+β)sin α=-8cos(α+β)cos α,
∴tan(α+β)tan α=-4.
11.24x-7y=0
解析 cos =,sin =-,tan =-,
∴tan θ===.
∴角θ的终边在直线24x-7y=0上.
12.
解析 cos β=-,sin β=,
sin(α+β)=,cos(α+β)=-,
故cos α=cos[(α+β)-β]
=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β
=(-)×(-)+×=.
13.1
解析 令x+10°=α,则x+40°=α+30°,
∴y=sin α+cos(α+30°)
=sin α+cos αcos 30°-sin αsin 30°
=sin α+cos α
=sin(α+60°).
∴ymax=1.
14.
解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(0)=sin θ+cos θ=0.
∴tan θ=-.∴θ=kπ-,(k∈Z).
∴f(x)=2sin(2x+θ+)
=2sin(2x+kπ).
当k为偶数时,f(x)=2sin 2x,不合题意;
当k为奇数时,f(x)=-2sin 2x,
函数在上为减函数.
∴f(x)=-2sin 2x,∴θ=+2kπ,k∈Z.
15.解 (1)sin(α+)=-,α∈(0,π)
⇒cos α=-,α∈(0,π)⇒sin α=.
==-.
(2)∵cos α=-,sin α=⇒sin 2α=-,
cos 2α=-.
cos(2α-)=-cos 2α+sin 2α=-.
16.解 (1)原式=sin 2x+cos 2x=2(sin 2x+cos 2x)
=2(sin 2xcos +cos 2xsin )
=2sin(2x+).
∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)当2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)有最大值为2.
当2x+=2kπ-,即x=kπ-(k∈Z)时,f(x)有最小值为-2.
(3)要使f(x)递增,必须使2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
∴函数f(x)的递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).
17.解 (1)a·b=cos cos -sin sin =cos 2x,
|a+b|=
==2|cos x|,
∵x∈[-,],∴cos x>0,
∴|a+b|=2cos x.
(2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1
=2(cos x-)2-.
∵x∈[-,].∴≤cos x≤1,
∴当cos x=时,f(x)取得最小值-;当cos x=1时,f(x)取得最大值-1.
18.解 (1)2(2cos2B-1)-8cos B+5=0,即4cos2B-8cos B+3=0,得cos B=.
又B为△ABC的内角,∴B=60°.
(2)∵cos θ==-,
∴sin θ=.
∴sin(B+θ)=sin Bcos θ+cos Bsin θ=.
19.解 (1)由题意,得m·n=0,所以
f(x)=cos ωx·(cos ωx+sin ωx)=+=sin(2ωx+)+.
根据题意知,函数f(x)的最小正周期为3π.
又ω>0,所以ω=.
(2)由(1)知f(x)=sin(+)+,所以f(α+)=sin(α+)+=cos α+=.
解得cos α=.
因为α是第一象限角,故sin α=.
所以====-.
20.解 (1)因为f(x)=sin 2xsin φ+cos2xcos φ-sin(+φ)(0<φ<π),
所以f(x)=sin 2xsin φ+cos φ-cos φ
=sin 2xsin φ+cos 2xcos φ
=(sin 2xsin φ+cos 2xcos φ)
=cos(2x-φ).
又函数图象过点(,),所以=cos(2×-φ),
即cos(-φ)=1,
又0<φ<π,所以φ=.
(2)由(1)知f(x)=cos(2x-),将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,可知g(x)=f(2x)=cos(4x-),
因为x∈[0,],所以4x∈[0,π],
因此4x-∈[-,],
故-≤cos(4x-)≤1.
所以y=g(x)在[0,]上的最大值和最小值分别为和-.