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哈尔滨家教:高一数学三角恒等变换练习


来源:哈尔滨家教老师 日期:2018/4/17

 

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)

1.函数f(x)=sin2(2x-)的最小正周期是______.

2.sin 15°cos 75°+cos 15°sin 105°=________.

3.已知α∈(,π),sin α=,则tan(α+)=__________.

4.函数f(x)=sin x-cos x(x∈[-π,0])的单调递增区间是________.

5.化简:的结果为______.

6.已知sin αcos β=1,则sin(αβ)=________.

7.若函数f(x)=sin(x+)+asin(x-)的一条对称轴方程为x=,则a=________.

8.函数y=sin 2x+sin2xxR的值域是______.

9.若3sin θ=cos θ,则cos 2θ+sin 2θ的值等于______.

10.已知3cos(2αβ)+5cos β=0,则tan(αβ)tan α的值为________.

11.若cos =,sin =-,则角θ的终边一定落在直线________上.

12.若0<α<<β<π,且cos β=-,sin(αβ)=,则cos α=________.

13.函数y=sin(x+10°)+cos(x+40°),(xR)的最大值是________.

14.使奇函数f(x)=sin(2xθ)+cos(2xθ)在[-,0]上为减函数的所有θ的集合为______.

二、解答题(本大题共6小题,共90分)

15.(14分)已知sin(α+)=-,α∈(0,π).

(1)求的值;

(2)求cos(2α-)的值.

 

16.(14分)已知函数f(x)=2cos xsin x+2cos2x-.

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值;

(3)求函数f(x)的单调增区间.

 

17.(14分)已知向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,-sin ),且x∈[-,].

(1)求a·b及|ab|;

(2)若f(x)=a·b-|ab|,求f(x)的最大值和最小值.

 

18.(16分)已知△ABC的内角B满足2cos 2B-8cos B+5=0,若=a,=bab满足:a·b=-9,|a|=3,|b|=5,θab的夹角.

(1)求角B

(2)求sin(Bθ).

 

19.(16分)已知向量m=(-1,cos ωx+sin ωx),n=(f(x),cos ωx),其中ω>0,且

mn,又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴的间距为.

(1)求ω的值;

(2)设α是第一象限角,且f(α+)=,求的值.

 

20.(16分)已知函数f(x)=sin 2xsin φ+cos2xcos φ-sin(+φ)(0<φ<π),其图象过点(,).

(1)求φ的值;

(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数yg(x)的图象,求函数g(x)在[0,]上的最大值和最小值.

 

 

3章 三角恒等变换(B)

1.

解析 ∵f(x)=[1-cos(4x-)]

=-sin 4x

T==.

2.1

解析 原式=sin 15°cos 75°+cos 15°sin 75°=sin 90°=1.

3.

解析 ∵α∈(,π),sin α=,

∴cos α=-,

tan α==-.

∴tan(α+)===.

4.[-,0]

解析 f(x)=sin x-cos x=2sin(x-).

令2kπ-≤x-≤2kπ+(kZ),

得2kπ-≤x≤2kπ+(kZ),

k=0得-≤x≤.

由此可得[-,0]符合题意.

5.

解析 原式=

==sin 60°=.

6.1

解析 ∵sin αcos β=1,

∴sin α=cos β=1,或sin α=cos β=-1,

∴cos α=sin β=0.

∴sin(αβ)=sin αcos β-cos αsin β=sin αcos β=1.

7.

解析 f(x)=sin(x+)-asin(-x)

=sin(x+)-acos(+x)

=sin(x+-φ)

f()=sin +asin

a+=.

解得a=.

8.

解析 y=sin 2x+sin2x=sin 2x

=sin 2x-cos 2x

=sin(2x-)+,

xR

∴-1≤sin(2x-)≤1,

y∈[-+,+].

9.

解析 ∵3sin θ=cos θ,∴tan θ=.

cos 2θ+sin 2θ=cos2θ-sin2θ+2sin θcos θ

===.

10.-4

解析 3cos(2αβ)+5cos β

=3cos(αβ)cos α-3sin(αβ)sin α+5cos(αβ)cos α+5sin(αβ)sin α=0,

∴2sin(αβ)sin α=-8cos(αβ)cos α

∴tan(αβ)tan α=-4.

11.24x-7y=0

解析 cos =,sin =-,tan =-,

∴tan θ===.

∴角θ的终边在直线24x-7y=0上.

12.

解析 cos β=-,sin β=,

sin(αβ)=,cos(αβ)=-,

故cos α=cos[(αβ)-β]

=cos(αβ)cos β+sin(αβ)sin β

=(-)×(-)+×=.

13.1

解析 令x+10°=α,则x+40°=α+30°,

y=sin α+cos(α+30°)

=sin α+cos αcos  30°-sin αsin 30°

=sin α+cos α

=sin(α+60°).

ymax=1.

14.

解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(0)=sin θ+cos θ=0.

∴tan θ=-.∴θkπ-,(kZ).

f(x)=2sin(2xθ+)

=2sin(2xkπ).

k为偶数时,f(x)=2sin 2x,不合题意;

k为奇数时,f(x)=-2sin 2x

函数在上为减函数.

f(x)=-2sin 2x,∴θ=+2kπ,kZ.

15.解 (1)sin(α+)=-,α∈(0,π)

⇒cos α=-,α∈(0,π)⇒sin α=.

==-.

(2)∵cos α=-,sin α=⇒sin 2α=-,

cos 2α=-.

cos(2α-)=-cos 2α+sin 2α=-.

16.解 (1)原式=sin 2x+cos 2x=2(sin 2x+cos 2x)

=2(sin 2xcos +cos 2xsin )

=2sin(2x+).

∴函数f(x)的最小正周期为π.

(2)当2x+=2kπ+,即xkπ+(kZ)时,f(x)有最大值为2.

当2x+=2kπ-,即xkπ-(kZ)时,f(x)有最小值为-2.

(3)要使f(x)递增,必须使2kπ-≤2x+≤2kπ+(kZ),

解得kπ-≤xkπ+(kZ).

∴函数f(x)的递增区间为[kπ-,kπ+](kZ).

17.解 (1)a·b=cos cos -sin sin =cos 2x

|ab|=

==2|cos x|,

x∈[-,],∴cos x>0,

∴|ab|=2cos x.

(2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1

=2(cos x-)2-.

x∈[-,].∴≤cos x≤1,

∴当cos x=时,f(x)取得最小值-;当cos x=1时,f(x)取得最大值-1.

18.解 (1)2(2cos2B-1)-8cos B+5=0,即4cos2B-8cos B+3=0,得cos B=.

B为△ABC的内角,∴B=60°.

(2)∵cos θ==-,

∴sin θ=.

∴sin(Bθ)=sin Bcos θ+cos Bsin θ=.

19.解 (1)由题意,得m·n=0,所以

f(x)=cos ωx·(cos ωx+sin ωx)=+=sin(2ωx+)+.

根据题意知,函数f(x)的最小正周期为3π.

ω>0,所以ω=.

(2)由(1)知f(x)=sin(+)+,所以f(α+)=sin(α+)+=cos α+=.

解得cos α=.

因为α是第一象限角,故sin α=.

所以====-.

20.解 (1)因为f(x)=sin 2xsin φ+cos2xcos φ-sin(+φ)(0<φ<π),

所以f(x)=sin 2xsin φ+cos φ-cos φ

=sin 2xsin φ+cos 2xcos φ

=(sin 2xsin φ+cos 2xcos φ)

=cos(2xφ).

又函数图象过点(,),所以=cos(2×-φ),

即cos(-φ)=1,

又0<φ<π,所以φ=.

(2)由(1)知f(x)=cos(2x-),将函数yf(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数yg(x)的图象,可知g(x)=f(2x)=cos(4x-),

因为x∈[0,],所以4x∈[0,π],

因此4x-∈[-,],

故-≤cos(4x-)≤1.

所以yg(x)在[0,]上的最大值和最小值分别为和-.

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