一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．sin 600°＋tan 240°的值是________．
2．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为________cm.
3．已知点Psin34π，cos34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．
4．已知tan α＝34，α∈π，32π，则cos α的值是________．
5．已知sin(2π－α)＝45，α∈(3π2，2π)，则sin α＋cos αsin α－cos α＝________.
6．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象可能是________．(填图象对应的序号)
7．为了得到函数y＝sin2x－π6的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象向________平移______个单位长度得到．(答案不唯一)
8．若点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是________．
9．方程sin πx＝14x的解的个数是________．
10．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f(7π12)＝________.
11．已知函数y＝sinπx3在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是________．
12．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0<θ<π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点横坐标为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则ω＝________，θ＝________.
13．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为________．
14．设ω>0，函数y＝sin(ωx＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是______．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)求函数y＝3－4sin x－4cos2x的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x的值．
16．(14分)已知函数y＝acos2x＋π3＋3，x∈0，π2的最大值为4，求实数a的值．
17．(14分)已知α是第三象限角，f(α)＝sinπ－α•cos2π－α•tan－α－πtan－α•sin－π－α.
(1)化简f(α)；
(2)若cosα－32π＝15，求f(α)的值；
(3)若α＝－1 860°，求f(α)的值．
18．(16分)如图所示，函数y＝2cos(ωx＋θ)(x∈R，ω>0,0≤θ≤π2)的图象与y轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A(π2，0)，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝32，x0∈[π2，π]时，求x0的值．
19．(16分)在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R其中A>0，ω>0，0<φ<π2的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M2π3，－2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈π12，π2时，求f(x)的值域．
20．(16分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0且ω>0,0<φ<π2)的部分图象，如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a在0，5π3上有两个不同的实根，试求a的取值范围．
第1章 三角函数(A)
1.32
2．6π＋40
解析 ∵圆心角α＝54°＝3π10，∴l＝|α|•r＝6π.
∴周长为(6π＋40) cm.
3.7π4 4.－45
5.17
解析 sin(2π－α)＝－sin α＝45，∴sin α＝－45.
又α∈(3π2，2π)，∴cos α＝35.
∴sin α＋cos αsin α－cos α＝17.
6．①②③
解析 当a＝0时f(x)＝1，③符合，
当0<|a|<1时T>2π，①符合，
当|a|>1时T<2π，②符合．
7．右 π3
解析 y＝sin2x－π6＝cosπ2－2x－π6
＝cos2π3－2x＝cos2x－23π＝cos2x－π3.
8.π4，π2∪π，5π4
解析 sin α－cos α>0且tan α>0，
∴α∈π4，π2或α∈π，54π.
9．7
解析 在同一坐标系中作出y＝sin πx与y＝14x的图象观察易知两函数图象有7个交点，所以方程有7个解．
10．0
解析 方法一 由图可知，32T＝5π4－π4＝π，即T＝2π3，∴ω＝2πT＝3.∴y＝2sin(3x＋φ)，
将(π4，0)代入上式sin(3π4＋φ)＝0.
∴3π4＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－3π4.
∴f(7π12)＝2sin(7π4＋kπ－3π4)＝0.
方法二 由图可知，32T＝5π4－π4＝π，即T＝2π3.
又由正弦图象性质可知，若f(x0)＝f(x0＋T2)＝0，
∴f(7π12)＝f(π4＋π3)＝f(π4)＝0.
11．8
解析
T＝6，则5T4≤t，
∴t≥152，∴tmin＝8.
12．2 π2
解析 ∵y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，∴θ＝π2.
∵图象与直线y＝2的两个交点横坐标为x1，x2，
|x2－x1|min＝π，即Tmin＝π，
∴2πω＝π，ω＝2.
13.π6
解析 ∵y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，即3cos(2×4π3＋φ)＝0，
∴8π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z.
∴φ＝－13π6＋kπ.∴当k＝2时，|φ|有最小值π6.
14.32
解析 由函数向右平移43π个单位后与原图象重合，得43π是此函数周期的整数倍．又ω>0，
∴2πω•k＝43π，∴ω＝32k(k∈Z)，∴ωmin＝32.
15．解 y＝3－4sin x－4cos2x＝4sin2x－4sin x－1
＝4sin x－122－2，令t＝sin x，则－1≤t≤1，
∴y＝4t－122－2 (－1≤t≤1)．
∴当t＝12，即x＝π6＋2kπ或x＝5π6＋2kπ(k∈Z)时，
ymin＝－2；
当t＝－1，即x＝3π2＋2kπ (k∈Z)时，ymax＝7.
16．解 ∵x∈0，π2，∴2x＋π3∈π3，4π3，
∴－1≤cos2x＋π3≤12.
当a>0，cos2x＋π3＝12时，y取得最大值12a＋3，
∴12a＋3＝4，∴a＝2.
当a<0，cos2x＋π3＝－1时，y取得最大值－a＋3，
∴－a＋3＝4，∴a＝－1，
综上可知，实数a的值为2或－1.
17．解 (1)f(α)＝sin α•cos－α•[－tanπ＋α]－tan α[－sinπ＋α]
＝－sin α•cos α•tan α－tan α•sin α＝cos α.
(2)∵cosα－32π＝cos32π－α＝－sin α，
又cosα－32π＝15，∴sin α＝－15.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－1－sin2α＝－265，
∴f(α)＝－265.
(3)f(α)＝f(－1 860°)＝cos(－1 860°)
＝cos 1 860°＝cos(5×360°＋60°)＝cos 60°＝12.
18．解 (1)将x＝0，y＝3代入函数y＝2cos(ωx＋θ)中，得cos θ＝32，
因为0≤θ≤π2，所以θ＝π6.
由已知T＝π，且ω>0，得ω＝2πT＝2ππ＝2.
(2)因为点A(π2，0)，Q(x0，y0)是PA的中点，
y0＝32，所以点P的坐标为(2x0－π2，3)．
又因为点P在y＝2cos(2x＋π6)的图象上，且π2≤x0≤π，
所以cos(4x0－5π6)＝32，且7π6≤4x0－5π6≤19π6，
从而得4x0－5π6＝11π6，或4x0－5π6＝13π6，即x0＝2π3，或x0＝3π4.
19．解 (1)由最低点为M2π3，－2得A＝2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为π2，
得T2＝π2，即T＝π，∴ω＝2πT＝2ππ＝2.
由点M2π3，－2在图象上得2sin2×2π3＋φ＝－2，
即sin4π3＋φ＝－1，
故4π3＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－11π6(k∈Z)．
又φ∈0，π2，∴φ＝π6，
故f(x)＝2sin2x＋π6.
(2)∵x∈π12，π2，∴2x＋π6∈π3，7π6，
当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；
当2x＋π6＝7π6，即x＝π2时，f(x)取得最小值－1，
故f(x)的值域为[－1,2]．
20．解 (1)由图象易知函数f(x)的周期为
T＝4×7π6－2π3＝2π，A＝1，所以ω＝1.
方法一 由图可知此函数的图象是由y＝sin x的图象向左平移π3个单位得到的，故φ＝π3，所以函数解析式为f(x)＝sinx＋π3.
方法二 由图象知f(x)过点－π3，0，
则sin－π3＋φ＝0，∴－π3＋φ＝kπ，k∈Z.
∴φ＝kπ＋π3，k∈Z，
又∵φ∈0，π2，∴φ＝π3，
∴f(x)＝sinx＋π3.
(2)方程f(x)＝a在0，5π3上有两个不同的实根等价于y＝f(x)与y＝a的图象在0，5π3上有两个交点，在图中作y＝a的图象，如图为函数f(x)＝sinx＋π3在0，5π3上的图象，当x＝0时，f(x)＝32，当x＝5π3时，f(x)＝0，由图中可以看出有两个交点时，a∈32，1∪(－1,0)．
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编辑者：哈尔滨家教（哈尔滨家教网)
