一、选择题：
1．设函数f(x)＝1－ (－1≤x≤0)，则函数y＝f－1(x)的图象是 （ ）
A. y B. y 1 C. y D. y 1
1 x 1 O x
－1 －1
－1 O x O 1 x
2．函数y=1－ (x≥1)的反函数是
（ ）
A．y=(x－1)2＋1，x∈R B．y=(x－1)2－1，x∈R
C．y=(x－1)2＋1，x≤1 D．y=(x－1)2－1，x≤1
3．若f(x－1)= x2－2x＋3 (x ≤1)，则f－1(4)等于
（ ）
A． B．1－ C．－ D． －2
4．与函数y=f(x)的反函数图象关于原点对称的图象所对应的函数是
（ ）
A．y=－f(x) B．y= f-1(x) C．y =－f-1(x) D．y =－f-1(－x)
5．设函数 ，则 的定义域为 （ ）
A． B． C． D．
6．若函数 的反函数是 ， ，则 等于 （ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 的反函数就是 本身，则 的值为 （ ）
A． B．1 C．3 D．
8．若函数 存在反函数，则方程 （ ）
A．有且只有一个实数根 B．至少有一个实数根
C．至多有一个实数根 D．没有实数根
9．函数f(x)=－ • (x≤－1)的反函数的定义域为 （ ）
A．(－∞，0］ B．(－∞，＋∞)
C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
10．若函数f(x)的图象经过点(0，－1)，则函数f(x＋4)的反函数的图象必经过点 （ ）
A．(－1，4) B．(－4，－1) C．(－1，－4) D．(1，－4)
11．函数f(x)＝ (x≠0)的反函数f－1(x)＝ （ ）
A．x(x≠0) B． (x≠0) C．－x(x≠0) D．－ (x≠0)
12、点(2，1)既在函数f(x)= 的图象上，又在它的反函数的图象上，则适合条件的数组(a，b)有 （ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
二、填空题：
13．若函数f(x)存在反函数f－1(x)，则f－1[f(x)]=___ ； f[f－1(x)]=___ __．
14．已知函数y＝f(x)的反函数为f－1(x)＝ －1(x≥0)，那么函数f(x)的定义域为__ _．
15．设f(x)=x2－1(x≤－2)，则f－1(4)=__ ________．
16．已知f(x)＝f－1(x)＝ (x≠－m)，则实数m = ．
三、解答题：
17．（1）已知f(x) = 4x－2x＋1 ，求f－1(0)的值．
（2）设函数y= f(x)满足 f(x－1) = x2－2x＋3 (x ≤ 0)，求 f－1(x＋1)．
18．判断下列函数是否有反函数，如有反函数，则求出它的反函数．
（1） ；
（2） ．
（3）
19．已知f(x)=
（1）求y=f(x)的反函数 y= f－1 (x)的值域;
（2）若(2，7)是 y = f－1 (x)的图象上一点，求y=f(x)的值域．
20．已知函数 ，
（1）求 及其 ；
（2）求 的反函数．
21．己知 (x≥1)，
（1）求 的反函数 ，并求出反函数的定义域；
（2）判断并证明 的单调性．
22．给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数 ．试证明：这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．
参考答案
一、选择题： DCCDD ACCAC BA
二、填空题：13.x，x，14.x≥－1，15.－ ，16.m＝－2
三、解答题：
17.解析：（１）设f－1(0)=a，即反函数过(0，a)， ∴原函数过(a，0)．
代入得 ：0=4a－2a＋1 ，2a(2a－2)=0，得a=1，∴f =1．
（２）先求f(x)的反函数 ．
18.解析：⑴令 得到对应的两根：
这说明函数确定的映射不是一一映射，因而它没有反函数．
⑵由 ，得
∵ ，∴ ，
互换 得
又由 的值域可得反函数定义域为
∴反函数为 ．
⑶由 得其反函数为 ；
又由 得其反函数为 ．
综上可得，所求的反函数为 ．
注：求函数 的反函数的一般步骤是：
⑴反解，由 解出 ，写出 的取值范围；
⑵互换 ，得 ；
⑶写出完整结论(一定要有反函数的定义域)．
⑷求分段函数的反函数，应分段逐一求解；分段函数的反函数也是分段函数．
19.解析：
（１）反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．∴反函数的值域为{y|y }
（２）∵(2，7)是y=f－1(x)的图象上一点，∴(7，2)是y=f(x)上一点．
∴
∴f(x)的值域为{y|y≠2}．
20．解析：⑴∵ ，
∴ ，其值域为 ，
又由 得 ，
∴ ， ∴ ．
⑵由 ，解得
∴ 的反函数为 ．
说明： 并不是 的反函数，而是 的反函数．
题中有 的形式，我们先求出 ，才能求出 ．
21.解析：⑴ ，
即 的定义域为 ；
⑵设 ，
，即 在 上单调递增．
22、证法一:
……①
由①式得
……②
由此得a=1，与已知矛盾，
又由②式得
这说明点P′（y′,x′）在已知函数的图象上，因此，这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形.
证法二:先求所给函数的反函数:由
得 y(ax－1)=x－1，
即 (ay－1)x=y－1．
即 ax－a=ax－1，
由此得a=1，与已知矛盾，所以ay－1≠0．
因此得到
由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f－1(x)的图象关于直线y=x对称，所以函数
的图象关于直线y=x成轴对称图形.
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