一、选择题
1．已知a=(3，－1)，b=(－1，2)，则－3a－2b的坐标是
[ ]
A．(7，1) B．(－7，－1)
C．(－7，1) D．(7，－1)
[ ]
3．已知A，B两点坐标分别为(a，－b)，(－a，b)，点C分 所成的比为－2，那么C点的坐标是
[ ]
A．(－3a，3b) B．(3a，－3b)
C．(a，b) D．(－a，b)
4．如图，G为△ABC的重心，则 ＋ － 等于
[ ]
A．0 B．4
C．4 D．4
[ ]
二、填空题
6．△ABC的三条边的中点的坐标分别是（2，1），（－3，4），（－2，1），则△ABC的重心坐标为________．
则x=________．
8．已知a＝（5，10），b=（－3，－4），c＝（2，3），且c=la＋kb，则l＝________，k＝________．
9．已知平行四边形ABCD中，有 =（－2，1）， =（3，7），则向量 的坐标是________．
10．已知 ＝（k，12）， =（4，5）， ＝（10，k），且A，B，C三点共线，则k的值为________．
三、解答题
11．已知 ABCD的顶点A的坐标为（－2，1），一组对边AB与CD的中点分别为M（3，0），N（－1，－2），求 ABCD其余各个顶点的坐标．
12．如图， ＝（6，1）， ＝（x，y）， =（－2，－3），且 ∥ ，确定x，y的关系式．
13．证明G为△ABC重心的充要条件是 + + =0．
14．如图，五边形ABCDE中，点M，N，P，Q分别是AB，CD，BC，DE的中点，K和L分别是MN和PQ的中点．
15．设 ABCD一边AB的中点为E，一边AD上有一点F，且F分 的比为m∶n，BF与CE交于点K，求K分 的比λ的值．
参考答案
一、选择题
1．(B)．
2．(B)．
P(－1，－ )．
3．(A)．
4．(D)．
由于G为△ABC的重心，于是有 ＋ ＋ =0，则 ＋ － =－2 ，
又 =－2 ，故 ＋ － =4 ．
5．(C)．
二、填空题
6．(－1，2)
设A(a1，a2)，B(b1，b2)，C(c1，c2)．由中点坐标公式，得
由(Ⅰ)得a1＋b1＋c1=－3，
由(Ⅱ)得a2＋b2＋c2=6，
另解 据例6的结论，△ABC的重心与其各边中点为顶点的三角形的重心相同．于是，
7．x=0或x=－1
由于a与b共线，则
2(x2－5x)＋12x=0，2x2＋2x＝0，x=0，x=－1．
由(2，3)＝l(5，10)＋k(－3，－4)=(5l－3k，10l－4k)．
9．(2，－1)
由向量加法的平行四边形法则 = ＋ =(1，8)， = － =(2，－1)．
或由平行四边形性质知
=－ =(2，－1)．
10．k=11或k=－2
因为A，B，C三点共线，所以 与 共线．
而 = － =(4－k，－7)
＝ － ＝(6，k－5)．
∴ (4－k)(k－5)－6×(－7)＝0．
解得 k=11或k=－2．
另有解法：设B分 的比为λ，则
解得 k=11或k=－2．
三、解答题
11．解法一 设B(b1，b2)，C(c1，c2)，D(d1，d2)．
∵ M(3，0)为AB的中点，且A(－2，1)．
∴ b1＝8，b2=－1，
∴ B(8，－1)．
又∵ M(3，0)，N(－1，－2)，
∴ MN的中点O的坐标为(1，－1)．
由平行四边形的性质知O点也为AC及BD的中点．
解得 c1=4，c2=－3．
d1＝－6，d2=－1．
∴ C(4，－3)，D(－6，－1)．
解法二 设B(b1，b2)，C(c1，c2)，D(d1，d2)．
∵ M与N分别为AB与CD的中点，
∴ = ．
又 A(－2，1)，M(3，0)，N(－1，－2)．
∴ ＝(5，－1)， =(－1－d1，－2－d2)．
∴ (5，－1)＝(－1－d1，－2－d2)．
∴ d1＝－6， d2=－1．
即 D(－6，－1)．
又 = ， =(c1＋1，c2＋2)．
∴ (5，－1)＝(c1＋1，c2＋2)．
解得 c1＝4，c2＝－3．
∴ C(4，－3)．
又 = ， =(b1－3，b2－0)＝(b1－3，b2)，
(5，－1)＝(b1－3，b2)，
∴ b1＝8，b2=－1．
∴ B(8，－1)．
12．∵ ＝(6，1)， ＝(x，y)， ＝(－2，－3)，
∴ ＝ ＋ ＋
=(6，1)＋(x，y)＋(－2，－3)
＝(4＋x，y－2)．
又∵ ∥ ，
∴ ∥ ．
故 x(y－2)－y(4＋x)＝0，
xy－2x－4y－xy＝0，
∴ x＋2y＝0．
13．充分性(由 ＋ ＋ =0推证G为△ABC重心)．
如图，延长AG到D，使GD=AG，且AD与BC交于M，连结BD，CD．
∵ ＋ ＋ ＝0，
∴ ＝－( ＋ )，
即 ＝ ＋ ．
又∵ = ，
∴ = ＋ ．
由向量加法的平行四边形法则知四边形GBDC为平行四边形．
由于平行四边形的对角线互相平分，可知M为BC的中点，M也为GD的中点．
∴ AM是中线，且G在AM上．
又 ＝ ， ＝2 ，
∴ ＝2 ，
∴ ＝ ，
∴ G为△ABC的重心．
下面证明必要性(由G为△ABC的重心推证 ＋ ＋ =0)．
如图，延长AG与BC交于D点，
∴ AD为BC边中线，D为BC中点．
∵ G是△ABC的重心，
由向量加法的平行四边形法则，可知
＋ ＝2 ．
又由于G为△ABC的重心，
∴ ＝2 ．
∴ ＝ ＋ ．
于是 ＋ ＋ =0．
必要性的证明也可用例5的结论．
14．证法一 在平面上任取一点O，
∵ K和L分别为MN和PQ的中点，
连结AC，EC，在△ABC和△EDC中，有
证法二 坐标法．
设A(a1，a2)，B(b1，b2)，C(c1，c2)，D(d1，d2)，E(e1，e2)．由中点坐标公式可得
同理可求得
而 =(e1－a1，e2－a2)，
15．证法一
∵ K分 的比为λ，
又 B，K，F三点共线，
由于 与 不共线，以 与 为一组基底表示 是唯一的．由①与②可得
两式相除，消去t，得
证法二 设B(0，0)，A(a1，a2)，C(c1，c2)，则 =(a1，a2)， =(c1，c2)，
= ＋ =(a1＋c1，a2＋c2)．
∵ B，K，F三点共线，即 与 共线．
∴ k1f2－k2f1＝0，
∴ (2c1＋λa1)[na2＋m(a2＋c2)]－(2c2＋λa2)•[na1＋m(a1＋c1)]=0．
整理为2(m＋n)(c1a2－c2a1)－λm(a1c2－a2c1)=0，
∵ 与 不共线，
∴ a1c2－a2c1≠0，
哈尔滨家教 ，哈尔滨家教老师，哈尔滨家教兼职，哈尔滨家教中心哪家好 - 找哈尔滨启航家教网 - 微信/电话：159-0203-8323 孙老师
哈尔滨家教区域：萝岗区家教 越秀区家教 海珠区家教 天河区家教 白云区家教 荔湾区家教 黄埔区家教 番禺区家教 花都区家教 南沙区家教 从化市家教 增城市家教
其它地区： 番禺市桥家教 番禺大石家教 番禺石基家教 番禺石楼家教 番禺南村家教 番禺钟村家教 番禺沙湾家教 番禺新造家教 番禺大岗家教 番禺榄核家教 番禺洛溪家教 荔湾区芳村家教 天河区岑村家教 萝岗区开发区家教 天河公园家教 番禺区南站家教 天河区棠东家教 番禺区祈福新村家教 海珠区鹭江家教 海珠区南岸路家教 白云区罗冲围家教 天河区林和东路家教 海珠区晓港家教 海珠区盈丰路家教 天河区五山家教 海珠区滨江东路家教 天河区汇景新城家教 天河区员村家教 越秀区动物园家教 海珠区哈尔滨大道南家教 越秀区五羊新城家教 越秀区东山口家教 天河区天河城家教 越秀区环市东路家教 越秀区黄花岗家教 芳村花园家教 白云区机场东路家教 天河区燕塘家教 海珠区棠下家教 锦绣云湾家教 越秀区盘福路家教 天河区华鼎新城家教 海珠区工业大道家教 番禺区锦绣香江家教 海珠区同福路家教 荔湾区黄沙大道家教 天河区龙都花园家教 天河区珠江苑家教 荔湾区陈家祠家教 越秀区花地湾家教 萝岗区博罗新村家教 越秀区哈尔滨大道中家教 海珠区金星花园家教 天河区冼村家教 海珠区客村家教 白云区人和地铁站家教 海珠区金逸花园家教 天河区骏景花园家教 荔湾区龙津中路家教 天河区富力公园家教 天河区沙河顶家教 越秀区雅景园家教 黄浦大沙地家教 天河石牌家教 海珠新港西家教 越秀小北家教 天河体育中心家教 天河岗顶家教 海珠赤岗家教 天河珠江新城家教 番禺启航家教 荔湾西村家教 天河车陂家教
学校：暨南大学家教 中山大学家教 华南理工大学家教 华南师范大学家教 广东工业大学家教 哈尔滨大学家教 广东金融学院家教 华南农业大学家教 广东广播电视大学家教 广东外语外贸大学家教 哈尔滨美术学院家教 哈尔滨中医药大学家教 哈尔滨医学院家教 第一军医大学家教 私立华联学院家教 广东建华职业学院家教 广东轻工职业技术学院家教 民办培正商学院家教 广东技术师范学院家教 哈尔滨体育学院家教 广东商学院家教 广东药学院家教 广东医学院家教 仲恺农业技术学院家教 民办南华工商学院家教 广东松山职业技术学院家教 广东第二师范学院家教 嘉应学院家教 南方医科大学家教 广东财经大学家教
科目：理科家教 文科家教 数学家教 语文家教 物理家教 化学家教 英语家教 历史家教 地理家教 政治家教 钢琴家教 美术家教 书法家教 网球家教 日语家教 托福家教 雅思家教 计算机家教 韩语家教 奥数家教 吉他家教 围棋家教 英语口语家教 法语家教 德语家教 成人家教 外教家教 幼儿家教 作文家教
编辑者：哈尔滨家教（哈尔滨家教网)
