一、 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)。
1. 的值是 ( )
A. B. C. D.
2.已知 ,函数 为奇函数,则a= ( )
A.0 B.1 C.-1 D.±1
3.设 ,对于函数 ,下列结论正确的是 ( )
A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值
C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值
4.设锐角 使关于x的方程 有重根,则 的弧度数为 ( )
A. B. C. D.
5.若 ,则 角的终边在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.函数 的最小正周期为 ,则函数 的一个单调增区间是 ( )
A. B. C. D.
7.已知函数 的图象的一个对称中心为 ,若 ,则 的解析式为 ( )
A. B.
C. 或 D. 或
8.为了得到函数 的图象,可以将函数 的图象 ( )
A.向右平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度
9.已知函数 ,则下列命题正确的是 ( )
A. 是周期为1的奇函数
B. 是周期为2的偶函数
C. 是周期为1的非奇非偶函数
D. 是周期为2的非奇非偶函数
10.已知函数 , 的图象如下图所示,则该函数的解析式是 ( )
A.
B.
C.
D.
11.如果tan(α+β)= ,tan(β- )= ,那么tan(α+ )的值是 ( )
A. B. C. D.2
12.将函数 的图象按向量 平移后所得的图象关于点 中心对称,则向量 的坐标可能为 ( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)。
13. 已知 ,sin( )=- sin 则cos =________.
14.已知 ,对于任意的实数 ,都有 成立,且 ,则实数 的值为 .
15.已知 ,且 在区间 有最小值,无最大值,则 __________.
16.已知函数 , ,则 的最小正周期是 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题,共74分)。
17.(12分) 已知函数f(x)=sin2x+ xcosx+2cos2x,x R.
(I)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;
(Ⅱ)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?
18.(12分)已知△ABC,∠B=60°,且 ,
求sinC的值。
19.(12分)设函数 图像的一条对称轴是直线 。
(1)求 的值;
(2)求函数 的单调递增区间;
(3)画出函数 在区间 上的图像。
20.(12分)已知函数
(1)求函数 的最小正周期;
(2)问是否存在一个角 ,使得函数 为偶函数?若存在请写出这样的角 ,并加以说明;若不存在,也请说明理由。
21.(12分)已知函数 , , .
(I)求 的对称轴方程;
(II)若 的最大值为 ,求 的值及此时对应 的值;
(III)若定义在非零实数集上的奇函数 在 上是增函数,且 ,求当 恒成立时,实数 的取值范围.
22.(14分)如图,某开发商准备开发一块直径为BC的半圆形空地,△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一游泳池,其余的地方种花。若BC=a,∠ABC= ,设△ABC的面积为S1,正方形PQRS的面积为S2。
(1)用a, 表示S1和S2;
(2)当a为定值, 变化时,求 的最大值,并求此时的角 。
参考答案
一、选择题:
1.B 解析: .
2.A解析:解法1由题意可知, 得a=0
解法2:函数的定义域为R,又f(x)为奇函数,故其图象必过原点即f(0)=0,所以得a=0,
3.B解析:令 ,则函数 的值域为函数 的值域,又 ,所以 是一个减函减。
4.B解析:因方程 有重根,故
得
,于是 。
5.D解析: ,∴ 角的终边在第四象限.
6.C解析: ,
∴ ,在 上单调递增.
7.D解析: ∴ , ,又 ,
∴ , 或 .
8.B解析: 向右平移 个单位长度得到 .
9.B解析: .
10.C解析: 由图像知 , 图像过
.
11.B 解析:tan(α+ )=tan[(α+β)-(β- )]= ,故选B
12.C解析:设平移向量 ,则函数按向量平移后的表达式为
,因为图象关于点 中心对称,
故 代入得: , ,
k=0得: ,选C。
二、填空题:
13.解析: , ,
,∴ , ,
则 =
=
14.解析: 由 知,函数的图像关于直线 对称,于是,在 时,
取得最大值或最小值,
15.解析:本小题主要针对考查三角函数图像对称性及周期性。依题 且 在区间 有最小值,无最大值,
∴区间 为 的一个半周期的子区间,且知 的图像关于 对称,∴ ,取 得
16.解析: ,故函数的最小正周期 。
三、解答题:
17.解:(I)
的最小正周期
由题意得 即
的单调增区间为
(II)方法一:先把 图象上所有点向左平移 个单位长度,
得到 的图象,再把所得图象上所有的点向上平移 个单位长度,
就得到 的图象。
方法二:把 图象上所有的点按向量 平移,
就得到 的图象。
18.解:∵B=60°,∴∠A+C=120°
∵
∴
∴
又∵
∴ ∴ 或
∴ 或
当 时, ;
当 时, 。
19.解(1) 的图像的对称轴,
另解: 的图像的对称轴
令 ,则 ,即
, ,
(2)由(1)知
由题意得
所以函数
(3)由
x 0
y -1 0 1 0
故函数
20.(1)∵
∴
(2)假设
∴
∴
∴ 恒成立
∴ ∴
故存在 为偶函数
21.解: (Ⅰ) ,
当 时, ,
;
当 时, .
(Ⅱ) ,
1 当 时, ;
2 当 时, 则 ,此情况不成立;
3 当 时, 此情况不成立; .
(Ⅲ)由题意知, 或 ,
1 当 时,
或 (舍);
2 当 时,
或 (舍);
3 当 时, ,满足; 实数 的取值范围为 .
22.(1)∵AC=
∴
设正方形边长为
∴
,
∴
(2)当a固定, 变化时,
,
则
∵
∴
∴
∴
∴ 上是减函数
∴t=1时, 有最小值5,
∴
编辑者:哈尔滨家教(哈尔滨家教网)