高一数学上学期单元测试（3）
[新课标人教版] 空间几何体（必修2第一章）
注意事项：
1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束，试题和答题卡一并收回。
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）.
1．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 （ ）
A．必定都不是直角三角形 B．至多有一个直角三角形
C．至多有两个直角三角形 D．可能都是直角三角形
2．如图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为 （ ）
A．模块①，②，⑤ B．模块①，③，⑤
C．模块②，④，⑥ D．模块③，④，⑤
3．对棱柱叙述正确的是 （ ）
A．底面一定是正方形，其它侧面是矩形
B．几何体都是平行四边形
C．仅有一组平面平行的几何体
D．有一组全等多边形平行，其余各面是平行四边形
4．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 （ ）
A． B． C． D．
5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为４５ｏ，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，一个封闭的立方体，它的
六个表面各标有A,B,C,D,E,F
这六个字母之一，现放置成如
图的三种不同的位置，则字母
A,B,C对面的字母分别为（ ）
A．D ,E ,F B． F ,D ,E
C．E, F ,D D．E, D,F
7．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是 （ ）
A．9π B．10π
C．11π D．12π
8．平面α外的一侧有一个三角形，三个顶点到平面α
的距离分别是７、９、１３，则这个三角形的重心
到平面α的距离为 （ ）
9．已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四
个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如下图所示，
则 （ ）
A．以上四个图形都是正确的
B．只有（２）（４）是正确的
C．只有（４）是错误的
D．只有（１）（２）是正确的
10．将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，
这个正四面体的高的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
11．如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 （ ）
A．①③ B．②③④ C．③④ D．②④
12．将正三棱柱截去三个角（如图1所示 分别是 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为 （ ）
第Ⅱ卷
二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）.
13． 是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若 的面积为 ，那么△ABC的面积为_______________.
14．正四面体ＡＢＣＤ的棱长为１，棱ＡＢ∥平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 .
15．如右图，在直棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，
∠ACB＝９０°，AC＝6，BC＝CC1＝ ， P是BC1上
一动点，则CP＋PA1的最小值为 .
16．一个密闭的透明正方体容器内装有一半体积的溶液，任意转动
容器，则溶液表面可以是：①三角形；②菱形；③矩形；④正方形；
⑤正六边形。其中正确的序号是是： .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分).
17．（12分）过半径为R的球面上一点作三条两两垂直的弦MA、MB、MC.
（1）求证：MA2+MB2+MC2为定值;
（2）求三棱锥M－ABC的体积的最大值.
18．（12分）如图，一个多面体的底是边长为4的等边△ABC， 、 、 都垂直于面ABC，且 ， ， .求这个多面体的体积V.
19．（12分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为 ，求圆台的体积与球体积之比？.
20．（12分）４个半径为１的中球上层１个、下层３个两两相切叠放在起.
（1）有１个空心大球能把４个中球装在里边，求大球的半径至少多少；
（2）在它们围成的空隙内有１个小球与这４个中球都外切，求小球的半径.
21．（12分）某人买了一罐容积为Ｖ升、高为a米的直三棱柱型罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b、c的地方（单位：米）.为了减少罐内液体油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家.试问罐内液体油最理想的估计能剩多少？
22．（14分）如图所示，在正三棱锥S—ABC中，过底面顶点B和侧棱SA、SC上的E、F点作一截面BEF和侧面SAC垂直.
（1）若E、F分别为SA、SC中点时，求此三棱锥的侧面积与底面积之比；
（2）若AB=8，斜高h′= ，求截面BEF的面积.
参考答案
一、选择题
1．D；提示：对于三棱锥P－ABC，当PA 面ABC，CB 面PAB；
2．A；提示：按照实际情况折叠图形，注意重合情况；
3．D；提示：按照棱柱的定义区分，也就是区分各底和各侧面；
4．A；提示：半圆的弧长对应底面圆的周长，可得 ，再处理即可；
5．A；提示：按照斜二测画法的对应法则，该图形对应一个上、下底边长为1、 ，高为2的直角梯形；
6．D；提示：可借助现有几何体标记演示；
7．D；提示：求组合体的表面积，它有半径为1的球和底面半径为1、高为3的圆柱组成；
8．A；提示：其一，作辅助平面 ，难以考虑到。其二，若Ａ、Ｂ、Ｃ三点在平面的异侧作图形更难。
9．C；提示：在同一平面上的所有顶点不能过球心，因为正四面体和球共中心；
10．C；提示：把４个钢球的球心连结起来构成棱长为２的正四面体Ｏ１Ｏ２Ｏ３Ｏ４，点Ｏ是底面△Ｏ２Ｏ３Ｏ４的中心，Ｅ，Ｆ分别是Ｏ３Ｏ４和ＢＣ的中点，过Ｏ作ＯＬ⊥ＡＦ于Ｌ，交Ｏ１Ｅ于Ｈ。
11．C；提示：正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体的边上，所以①②不正确，根据射影的性质E、F、G、三点在平面ABC内的射影形状如“④”所示，在其它平面上的射影如“③”所示；
12．A；提示：解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙)，可得答案A；
二、填空题
13． ；提示：通过画直观图还原实际图像即可；
14．[ ]；提示：当ＣＤ∥α时，面积取最大值，再由对称性处理最小值；
15． ；提示：将△ＢＣＣ１沿ＢＣ１线展到面A1C1Ｂ上，如上右图，连结Ａ１Ｃ，Ａ１Ｃ即为ＣＰ＋PA1最小值；
16．②、③、④、⑤；提示：注意正方体中体积最大的三棱锥（譬如正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥A1－ABC）的体积为 ；
三、解答题
17．（1）证明：以相互垂直的三条弦MA，MB，MC为棱作长方体，则该长方体的八个顶点都在球面上，并且该长方体的体对角线长为球的直径.
∴MA2+MB2+MC2=4R2（定值）.……………………6分
（2）解：VM-ABC=VC-AMB= ×MC• MA•MB= MA•MB•MC= ≤
= = × • = R3.
当且仅当MA=MB=MC= R时，
VM-ABC最大= R3. ……………………12分
18．解法1：过 作与底面ABC平行的截面 。易知等边△ABC的高为 ，面积为 ，则
………………12分
解法2：连结 ， ，则
…………12分
解法3：在原几何体上方补上一个相同的几何体（图2），
使成为正三棱柱，即AA′=BB′=CC′=6。
易得三棱柱体积为 ，
从而所求的 。………………12分
19．解：如图，是圆台和半球的截面图，设球的半径为R，
由题中已知条件可得OB＝OC＝BC＝R，CE＝ ，
CD＝R，………………4分
于是圆台的体积为：
V圆台＝ ，………………8分
又球的体积V球＝ πR3，所以 ………………12分
20．（1）连结４个中球的球心得到棱长为2的正四面体（直观图略），
它的外接球的半径长 ，因此大球的半径至少为 ＋１；………………6分
（2）该小球的半径是最小大球的半径减去一个中球的直径长２，
即为 －１。………………12分
21．解：如图，设直三棱柱为ABC一A1B1C1，破损处为M、N，
且MB=b，CN=c.罐内所剩汽油的最大量应是几何体A1MN—ABC
的容量或几何体AMN—A1B1C1的容量.
连结MA、MC，设h是BB1与面AC1的距离，侧棱AA1=a，V =V , =
= = .
而V = V,故V = V.
这样V = V. ………………6分
∵ = = ,而V = V,故V = V.
∴ = + = V+ V= V.
同理可求得V = V.
故最理想的估计罐内剩下汽油：
max{ V, V}.………………12分
22．解：(1)在正三棱锥S—ABC中，E、F分则为SA、SC的中点，
∴SE=SF，∠ESB=∠FSB，
∴△SEB≌△SFB.∴BE=BF，
连结EF，设G为EF的中点，连BG，则BG⊥EF，
又平面BEF⊥平面SAC，
∴BG⊥平面SAC，连结SG，从而BG⊥SG，
延长SG交AC于D，
连BD，则D为AC的中点,G为SD的中点。
∴BD=SB。………………4分
设正△ABC边长为a，
则SA=SB＝SC＝BD＝ a,SD= = a，
∴S侧=3S△ASC= a2,S底= .∴S侧：S底= a。………………9分
（2）由(1)知，设O为S在底面上的射影，则
∵BD=4 ，∴OD= .而SD＝ ，
∴cos∠SDB= .∴∠SDB=60°.
∴GD=2 ，BG=6,SG= .
又 = = ，∴EF=2，S截面BEF=6………………14分
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编辑者：哈尔滨家教（哈尔滨家教网)
