一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)
1.设全集 ,集合 , ,则 ▲ .
2. 已知直线 ,则直线 的倾斜角为 ▲ .
3. 已知函数 , ,则函数 的值域为 ▲ .
4. 在正方体 中,与 异面的棱的条数为 ▲ .
5. 若函数 是偶函数,则函数 的单调递减区间是 ▲ .
6. ▲ .
7.已知函数 的图象经过点 ,则函数 的图象必经过点 ▲ .
8. 用二分法求函数 的一个零点,其参考数据如下:
f(2)≈-0.699 f(3) ≈0.477 f(2.5) ≈-0.102 f(2.75) ≈0.189
f(2.625) ≈0.044 f(2.5625)≈-0.029 f(2.59375)≈0.008 f(2.57813≈-0.011
根据此数据,可得方程 的一个近似解(精确到0.1)为 ▲ .
9.已知函数 ,若 ,则 = ▲ .
10.已知两条直线 , ,若 ∥ ,则 与 之间的距离是 ▲ .
11.已知 是两条直线, 是两个平面,有下列4个命题:
①若 ∥ , ,则 ∥ ;
②若 , , ,则 ∥ ;
③若 , , ,则 ;
④若 是异面直线, , ,则 ∥ .
则其中正确的命题是 ▲ (写出所有正确命题的序号).
12.已知 的圆心为 ,且被直线 截得的弦长为 ,则 的方程为
▲ .
13.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位: ),则它的体积是 ▲ .
14. 已知集合 , , 且 ,则由实数 的取值组成的集合是 ▲ .
二.解答题(本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)
已知△ 的三个顶点分别为 , , ,求:
(Ⅰ) 边上的中线 所在的直线方程;
(Ⅱ)△ 的面积.
16.(本小题满分14分)
已知函数 .
(Ⅰ)证明函数 是偶函数;
(Ⅱ)在如图所示的平面直角坐标系中作出函数 的图象.
17. (本小题满分15分)
如图,在正方体 中, 是 和 的交点. 求证:
(Ⅰ) ∥平面 ;
(Ⅱ)平面 平面 .
18. (本小题满分15分)
某家庭对新购买的商品房进行装潢,设装潢开始后的时间为 (天),室内每立方米空气中甲醛含量为 (毫克).已知在装潢过程中, 与 成正比;在装潢完工后, 与 的平方成反比,如图所示.
(Ⅰ)写出 关于 的函数关系式;
(Ⅱ)已知国家对室内甲醛含量的卫生标准是甲醛浓度不超过0.08毫克 立方米.按照这个标准,这个家庭装潢完工后,经过多少天才可以入住?
19. (本小题满分16分)
已知函数 是奇函数 .
(Ⅰ)求实数 的值;
(Ⅱ)试判断函数 在( , )上的单调性,并证明你的结论;
(Ⅲ)若对任意的 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
20.(本小题满分16分)
如图,已知 O: 和定点 ,由 O外一点 向 O引切线PQ,Q为切点,且满足 .
(Ⅰ) 求实数 之间满足的关系式;
(Ⅱ) 求线段PQ的最小值;
(Ⅲ) 是否存在以 点为圆心,过点 且与 O相切的圆.若存在,试求出 的方程;若不存在,请说明理由.
江苏省宿迁中学2008-2009高一年级第一学期期末数学模拟测
参考答案
本卷满分160,用时120分钟.
一.填空题(本大题共14题,每题5分,共计70分)
1. . 2. .
3. . 4. 6 .
5. . 6. 28 .
7. . 8. 2.6 .
9. . 10. .
11. ②、③ . 12. .
13. 6 . 14. .
二.解答题(本大题共6题,15,16两题每题14分,17,18两题每题15分,19,20两题每题16分,共计90分.应写出较详尽的解答过程)
15.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)由已知得BC中点D的坐标为 ,………………………………… 2分
∴中线AD所在的直线方程是 ,………………………………5分
即 ………………………………………………7分
(Ⅱ)∵ ,………………………………9分
直线BC的方程是 ,
点A到直线BC的距离是 ……………………12分
∴△ABC的面积是 . ……………………………………14分
16.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)∵ ,
=
=
∴ 是偶函数. ……………………………………6分
(Ⅱ)∵ ,函数 图象如图所示.
…………………14分
17. (本小题满分15分)
证明:( Ⅰ)连接 ,设 ,连接 ,
因为 ∥ ,且 = ,
∴四边形 是平行四边形,
∥ , ……………………………………3分
又 ∥面 , 面 ,
∴ ∥平面 . ……………………………………7分
(Ⅱ) ⊥ , ⊥ ,又 ,
∴ ⊥平面 , …………………………………11分
又 平面 ,
∴平面 ⊥平面 . ……………………………… 14分
18. (本小题满分15分)
解: (Ⅰ)设直线 ,将点 代入直线方程,得 ,
即 ……………………………………………… 4分
设 ,将点 代入,得 ,即
……………………………………8分
关于 的函数是 …………………………………… 10分
(Ⅱ)由题意知, , 解得 或 (舍)……………13分
又 (天)
答:按这个标准,这个家庭在装潢后60天方可入住. …………… 14分
19. (本小题满分16分)
解:(Ⅰ)由题意可得: =
∵ 是奇函数 ∴
即
∴ ,即 ……………………………………4分
即
(Ⅱ)设 为区间 内的任意两个值,且 ,
则 , ,
∵ = =
即 ∴ 是 上的增函数. ………………………10分
(Ⅲ)由(Ⅰ)、(Ⅱ)知, 是 上的增函数,且是奇函数.
∵ 0
∴ =
∴ …………………………13分
即 对任意 恒成立.
只需 = = ,
解之得 ……………………………………………………16分
20. (本小题满分16分)
解:( Ⅰ)连接 ,∵ , …………………2分
∴ ,即 . ………………………6分
(Ⅱ)设
,∴
∴当 ⊥ 时, 的长度最小,即 = = ,
∴ . ………………………………………11分
(Ⅲ)假设存在满足条件的圆 .
当 与 相外切时,设点 坐标为 .
则 =1+ , ……………………………………… 13分
两边平方得 (*)
∵ 0,
∴(*)式无解,∴不存在这样的圆; ………………………………………14分
同理可得,当 与 相内切时也不存在. ………………………………… 15分
综上可知, 满足条件的圆 不存在. ………………………………… 16分
编辑者:哈尔滨家教(哈尔滨家教网)