一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求)
1. 把图中正三角形按虚线折起，可以得到一个 ( )
A．三棱柱 B．三棱锥
C. 四棱柱 D. 四棱锥
2．直线l的方程是y=x-1，则该直线f的倾斜角为 ( )
A. 30° B．45° C. 60° D．135°
3．点P(-2，0，3) 位于 ( )
A．y轴上 B.z轴上 C．xoz三平面内 D． yoz平面内
4．如图，下列几何体为台体的是 ( )
A．①② B．①③ C．④ D. ①④
5. 圆（x-1）2 + y2 = 1的圆心到直线y = x的距离是 ( )
A. B． C．1 D.
6. 圆（x2+y2）-4x= 0在点P(1， )处的切线方程是 ( )
A．x+ y-2=0 B．x+ y -4=0 C. x- y+4 = 0 D. x- y+2 = 0
7．已知直角 ABC中，A（-1，0)，B（3，0)，则其直角顶点C的轨迹方程是 ( )
A. x2+ y2+2x-3= 0 (y≠0) C. x2+ y2-2x+3= 0 (y≠0)
C. x2+ y2-2x-3= 0 (y≠0) D. x2+ y2+2x+3= 0 (y≠0)
8．点(1，-1)在圆(x-a)2+(y+a)2= 4的内部，则a取值范围是 ( )
A．-1<a<1
B．0<a<1
C. a <-1或a＞1
D. a≠±1
9. 能使圆x2+ y2-2x-3+1= 0上恰有两个点到直线2x+y+m = 0的距离等于1的m的一个
值是 ( )
A．2 B. 3 C. D.3
10. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1n中，M、N分别是BB1BC的中点，则图中阴影部分在平
面ADDsA1。上的投影为图中的 ( )
第Ⅱ卷 非选择题 (满分80分)
二、填空题(每大题共4小题，，每小题4分，满分16分)
11.经过点A(1，0)和点B(0，2)的直线方程是
12.棱长都是a的三棱锥的表面积为
13．已知函数f(x) =x2-bx+c满足f(1-x) = f(1+x)，且f(x) =3，则f(b x)与f(cx)的大小关系
为 .
14．正方体的内切球与其外接球的体积之比是
三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)
一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位：cm)．
（1）画出该几何体的直观图，并说明图形名称
(尺寸不作要求)；
（2）求该几何体的表面积
16.(本小题12分)
已知正方体ABCD-A，B1C1D1中．
（1）求异面直线ABCD与A1B1C1D1所成角的大小
（2）求证：BD⊥A1C；
（3）求三棱锥C1-A1BD的体积．
17．(本小题10分)
图中所示的图形是一个底面直径为20crn的装有一部分水的圆柱形玻
璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的一个小圆锥体铅
锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米?
18．(本题12分)
已知函数f(x) = ，且f(1) =3，f (2)=
(1)求a，b的值，写出f(x)的表达式；
(2)判断f(x)在区间[1，+∞)上的增减性，并加以证明
19. (本题10分)
已知圆x2+ y2+z-6y+m = 0与直线x+2y-3=0交于P、Q两点，0为坐标原点，问是否存
在实数m，使OP⊥OQ．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
20．(本题10分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=2，D是AB的中点
（1）求证：ACl∥平面B1DC
（2）若E是A1B1的中点，点P为一动点，记PB1=x，点P
从E出发，沿着三棱柱的棱，按E经A1到4的路线运
动，求这一过程中三棱锥P-BCC1的体积的表达式y(z)，并
求V(x)的最大值和最小值．
2008学年高一第一学期期末数学测试参考答案与评分标准
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B C C A D C A B A
二、填空题(每大题共4小题，每小题4分，满分16分)
11．2x+y-2=0 12． a2
13．f(b x)≤f(cx) 14．1：3
三、解答题(本大题共6小题，满分64分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.（1）圆锥 （图略）……………………………………………………………………5分
（2）S表= ( rl+ r2) ……………………………………………………………………8分
= ×3×5+ ×32…………………………………………………………………10分
16.(1)连结A1D，A1B，知四边形CDA1B1是平行四边形
∴A1D∥B1C，∴∠A1DB或其补角是异面直线BD与B1C所成的角……………………… 2分
又∵A1D = A1B=BD = a，∴∠A1DB=60°…………………………………………………3分
∴异面直线BD与B1C所成的角是60°………………………………………………………4分
(2)证明：由正方体知：
A1A⊥上底面ABCD
BD∈底面ABCD
A1A⊥BD
又AC⊥BD …………………………………………………………6分
A1A∩AC=A
BD⊥面AA1C
AlC 面AA1C… …………………………………………………………………7分
BD⊥AC1 ……………………………………………………………………8分
(3)解：VA -ABD== ×S⊿ABD×AA1= × ×a×a×a= a3…………………………………10分
VC -ABD =VABCD-A B C D - 4VA-ABD=a3- 4× a3= a3 …………………………………… 12分
17.解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是二个小圆柱，这个
圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20cm的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的
体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度。………………………………………………2分
因为圆锥形铅锤的体积为 × × ×20=60 cm3 ……………………………………4分
设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为刀×(20÷2)2×x=100 xcrn3……………………7分
所以有下列方程60 =100 x，解此方程得x=0.6cm……………………………………… 9分
答；铅锤取出后，杯中水面下降了0.6cm ………………………………………………… 10分
18. (1)解：
由
………………………………………………………3分
……………………………………………………………………6分
则f(x)=
(2) 任设l≤x1<x2………………………………………………………………………………7分
f(x)- f(x2) = - = (x1-x2)• ……………………………… 9分
∵x1<x2 ∴x1<x2<0…………………………………………………………………………10分
又∵x1≥1，x2≥1
∴x1-x2<0，x1x2≥1，2x1x2≥2≥1，即，2x1x2-1>0 …………………………………………11分
∴f(x1)- f(x2) <0，即，f(x1) < f(x2)
故f(x)= 在[1，+∞)上单调增函数 ……………………………………………… 12分
19. 设点P(xp，yQ)，Q(xQ，yQ)
当OP⊥OQ≥Kop•KOQ=-1 • =-1 xpxQ+ypyQ = 0 (1)……………………2分
又直线与圆相交于P、Q 的根是P、Q坐标
是方程5x2+10x+(4m-27)=0的两根
有：xp+xQ=-2，xp•xQ= (2)……4分
又P、Q在直线x+2y-3=0上yp•yQ= (3- xp)•(3- xQ) (3)……6分
= [9-3(xp+ xQ)+ xp•xQ]
由(1)(2)(3)得：m=3……………………………………………………………………………8分
且检验△>O成立………………………………………………………………………………9分
故存在m=3，使OP⊥OQ……………………………………………………………………10分
20．(1)解：取BC,中点F，又D为AB中点
∴DF∥ACl…………………………………………………………………………2分
又∵DF 面B1DC，ACl 面B1DC
∴AC1∥面B1DC…………………………………………………………………4分
(2)解：已知PB1=x，S⊿BCC =2
又A1B1⊥平面BCC1
∴PB1⊥平面BCC1…………………………………………………………………6分
当点P从E点出发到A1点时，即x∈[1，2]时，Vp-BCC = •S⊿BCC•PB =
当点P从A1点出发到A点时，即x∈[2，2 ]，Vp-BCC = •S⊿BCC•AB=
从而V（x）= ……………………………8分
故 =V(1)≤V (x)≤V (2) =
即V(x)最大值是 ，最小值是 ……………………………………………………………10分
编辑者：哈尔滨家教（哈尔滨家教网)
