一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合 , ,那么集合
A. B.
C. D.
2.下列四个函数中,在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是
A.
B.
C.
D.
3. 已知 ,则 的值为
A. B. C. 或 D. 或
4. 设 且 ,则“ ”是“ ”成立的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 设 , 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面.下列命题正确的是
A.若 ,则 B.若 ,则
C.若 ,则 D.若 ,则
6. 已知三角形 外接圆 的半径为 ( 为圆心),且 , ,则 等于( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 则函数 的零点个数是
A. B. C. D.
8. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排,下列说法正确的是( )
A.总存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多
B.总存在一个白球,它右侧的白球和黑球一样多
C.总存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个
D.总存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.
9. 设平面向量 ,若 // ,则 .
10. 已知角 为三角形的一个内角,且 , = . .
11. 已知 , , ,则 , , 的大小关系是 .
12. 设各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ,若 , ,则 的值为 , 的值为 .
13.已知函数 在 上具有单调性,则实数 的取值范围是 .
14. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作.书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安,至齐。齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里;驽马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马.问几何日相逢.”其意为:“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去.已知长安和齐的距离是3000里,良马第一天行193里,之后每天比前一天多行13里;驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里.良马到齐后,返回去迎驽马.多少天后两马相遇.”利用我们所学的知识,可知离开长安后的第 天,两马相逢.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15. (本小题满分13分)
已知数列 ( )是公差不为0的等差数列, 若 ,且 成等比数列.
(Ⅰ)求 的通项公式;
(Ⅱ)若 ,求数列 的前 项和 .
16. (本小题满分13分)
已知函数 ( )的图象经过点 .
(Ⅰ)求 的最小正周期;
(Ⅱ)若 ,求 的取值范围.
17. (本小题满分13分)
如图,已知 四点共面,且 , , , , .
(Ⅰ)求 ;
(Ⅱ)求 .
18. (本小题满分14分)
如图,四边形 为矩形, 平面 , .
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若直线 平面 ,试判断直线 与平面 的位置关系,并说明理由;
(Ⅲ)若 , ,求三棱锥 的体积.
19. (本小题满分13分)
已知函数 , .
(Ⅰ)若曲线 在点 处切线斜率为 ,求函数 的最小值;
(Ⅱ)若函数 在区间 上无极值,求 的取值范围.
20. (本小题满分14分)
已知函数 .
(I)若 ,求函数 的单调区间;
(Ⅱ)若 ,且 在区间 上恒成立,求 的取值范围;
(III)若 ,判断函数 的零点的个数.
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试
数学答案(文史类) 2016.11
一、选择题:(满分40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A B A B A
二、填空题:(满分30分)
题号 9 10 11 12 13 14
答案
(注:两空的填空,第一空3分,第二空2分)
三、解答题:(满分80分)
15. (本小题满分13分)
解: (Ⅰ)设 的公差为 ,
因为 成等比数列,所以 .
即 ,即 .
又 ,且 ,解得 .
所以有 . ……………………………………8分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知: .
则 .
即 .
…………………………………13分
16. (本小题满分13分)
解:(Ⅰ)因为函数 的图象经过点 ,
所以 解得 .
所以 .
所以 最小正周期为 . …………………7分
(Ⅱ)因为 ,所以
所以当 ,即 时, 取得最大值,最大值是 ;
当 ,即 时, 取得最小值,最小值是
所以 的取值范围是 . ……………………13分
17. (本小题满分13分)
解:(Ⅰ)在△ 中,因为 ,所以 .
由正弦定理 得,
. ……………………5分
(Ⅱ)在△ 中,由 得,
. 所以 .
解得 或 (舍).
由已知得 是锐角,又 ,所以 .
所以 .
.
在△ 中,因为
,
所以 . ……………………………13分
18. (本小题满分14分)
证明:(Ⅰ)因为 底面 ,
所以 底面 .
所以 .
又因为底面 为矩形,
所以 .
又因为 ,
所以 平面 .所以 . …………4分
(Ⅱ)若直线 平面 ,则直线 平面 .证明如下,
因为 ,且 平面 , 平面 ,
所以 平面 .
在矩形 中, ,且 平面 , 平面 ,
所以 平面 .
又因为 ,所以平面 平面 .
又因为直线 平面 ,所以直线 平面 . ………………9分
(Ⅲ)易知,三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积.
由(Ⅰ)可知, 平面 .
又因为 ,
所以 平面 .
易证 平面 ,所以点 到平面 的距离等于 的长.
因为 , ,所以 .
所以三棱锥 的体积 . …………14分
19. (本小题满分13分)
解:(Ⅰ)因为 ,所以 .
依题意, ,解得 .
所以 , .
当 时, ,函数 为增函数;
当 时, ,函数 为减函数;
所以函数 的最小值是 . …………………………6分
(Ⅱ)因为 ,所以 .
(1) 若 ,则 .此时 在 上单调递减,满足条件.
(2) 若 ,令 得 .
(ⅰ)若 ,即 ,则 在 上恒成立.
此时 在 上单调递减,满足条件.
(ⅱ)若 ,即 时,由 得 ;
由 得 .
此时 在 上为增函数,在 上为减,不满足条件.
(ⅲ)若 即 .则 在 上恒成立.
此时 在 上单调递减,满足条件.
综上, . …………………………………………………13分
20. (本小题满分14分)
解:(Ⅰ)若 ,则 ,
由 得, ;由 得, .
所以函数 的单调增区间为 ;单调减区间为 . ………………3分
(Ⅱ)依题意,在区间 上 .
.
令 得, 或 .
若 ,则由 得, ;由 得, .
所以 ,满足条件;
若 ,则由 得, 或 ;由 得, .
,
依题意 ,即 ,所以 .
若 ,则 .
所以 在区间 上单调递增,
,不满足条件;
综上, . ……………………………………9分
(III) , .
所以 .设 ,
.
令 得 .
当 时, ;当 时, .
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
所以 的最小值为 .
因为 ,所以 .
所以 的最小值 .
从而, 在区间 上单调递增.
又 ,
设 .
则 .令 得 .由 ,得 ;
由 ,得 .所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
所以 .
所以 恒成立.所以 , .
所以 .
又 ,所以当 时,函数 恰有1个零点. …………14分
编辑者:哈尔滨家教(哈尔滨家教网)