（本试卷共4 页，21 小题，满分150 分。考试用时120 分钟）
注意事项：非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以
上要求作答的答案无效。
一、选择题（每小题5 分，总50 分）
1．已知集合M x | x 3， 2 N x | x 6x 8 0 ，则M N （ ）
A． B ．x | 0 x 3 C．x |1 x 3 D．x | 2 x 3
2．已知命题P 是：“对任意的xR， 3 2 x x 1≤0”，那么p 是 （ ）
A．不存在xR， 3 2 x x 1≤0 B．存在xR， 3 2 x x 1≤0
C．存在xR， 3 2 x x 1 0 D．对任意的xR， 3 2 x x 1 0
3. 2 y (sin x cos x) 1是（ ）
A. 最小正周期为2π 的奇函数 B. 最小正周期为2π 的偶函数
C. 最小正周期为π 的奇函数 D. 最小正周期为π 的偶函数
4．设x, yR,则“x 2且 y 2”是“ 2 2 x y 4”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
5 若
1
2
1
( )
log (2 1)
f x
x
，则 f (x)的定义域为( )
A.
1
( , 0)
2
B.
1
( , )
2
C.
1
( ,0) (0, )
2
D.
1
( , 2)
2
6. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)( A＞0，ω＞0,
2
0
)
的部分图象如图所示，则f(0)的值是（ ）
A.
2
3
B.
4
3
C.
2
6
D.
4
6
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7. 在平面直角坐标系中，不等式组
0
4 0
1
x y
x y
x
表示的平面区域面积是（ ）．
A．3 B．6 C．
9
2
D．9
8. 已知
3
1
)
4
sin(
，则)
4
cos(
的值等于( )
A． 2
3
2
B． 2
3
2
C．
3
1
D．
3
1
9. 已知函数 x 1 y a （a 0，且a 1）的图象恒过定点 A，若点A在函数 y mx n的图象上，
其中m,n 0，则
1 1
m n
的最小值为
A．1 B．4 C． 2 D．2
10.
6, 10
2
1
| lg |,0 10
( )
x x
x x
已知函数f x , 若 a，b，c 互不相等，且 f（a）=f（b）=f（c），则 abc
的取值范围是（ ）
A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24)
二、填空题（每小题5 分，总20 分,其中14、15 题为选做题）
11.已知函数
( 1) 2, ( 4)
2 , ( 4)
( )
f x x
x
f x
x
, 则 f (5) = _____________.
12. cos24 cos36 cos66 cos54 的值等于________.
13.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体
的体积是
14．（坐标系与参数方程选做题）过点(2, )
3
且平行于极轴的直线的极坐标方程为_ _．
15．（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O的切线，切点为A
直线PO交圆O于B,C 两点，AC 2,PAB 120 ，则圆O的
面积为 ．
三、解答题（共80 分）
16.（本小题满分12 分）已知函数( ) sin( ) sin( )
2
f x x x
，
（1）求函数 f (x)的最小正周期；
P
A
B
O C
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（2）求 f (x)的最大值和最小值；
（3）若
1
( )
4
f x ，求sin 2x 的值
17．（本小题满分12 分）
一个盒子中装有4 张卡片，每张卡片上写有1 个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽
取卡片.
（1）若一次从中随机抽取3 张卡片，求3 张卡片上数字之和大于或等于7 的概率；
（2）若第一次随机抽1 张卡片，放回后再随机抽取1 张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字2 的
概率．
18.（14 分）如图，四棱锥P－ABCD 的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、
F 分别为棱AB、PD 的中点．
（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；
19．(本小题满分14 分) 已知函数f(x) =x2—lnx.
(1)求曲线f(x)在点（1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调递减区间：
(3)设函数g(x)=f(x)-x2+ax, a>0，若x∈ (O，e]时，g(x)的最小值是3,求实数a 的值.
(e 是为自然对数的底数）
E
F
B
A
C
D
P
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20．(本小题满分14 分)在经济学中，函数 f (x)的边际函数Mf (x)定义为Mf (x) f (x 1) f (x)，
某公司每月生产 x 台某种产品的收入为 R(x)元，成本为C(x) 元，且 2 R(x) 3000x 20x ，
* C(x) 600x 4000(xN )，现已知该公司每月生产该产品不超过100台，（利润=收入－成本）
（1）求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x)；
（2）求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差。
21. (本小题满分14 分)设函数2 f (x) aln x bx .
（1）若函数 f (x)在x 1处与直线
2
1
y 相切，
①求实数a ，b 的值；
②求函数 f (x)在
1
[ , e]
e
上的最大值；
（2）当b 0时，若不等式 f (x) m x对所有的
3
[0, ]
2
a ， 2 x 1, e 都成立，求实数m的取
值范围.
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2018 届高三数学（理科）期中考试参考答案
一、选择题：
DCCAC CDDBC
二、填空题
11. 12 12.
2
1
13.
2
3
14. sin 3 15．4
16．
17．解：（1）设A 表示事件“抽取3 张卡片上的数字之和大于或等于7”，
任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），
（2、3、4），共4 种……………………………………………………………………2 分
其中数字之和大于或等于7 的是（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），
共3 种…………………………………………………………………………………4 分
所以P(A)
. ………………………………………………………………………6 分
（2）设B 表示事件“至少一次抽到2”，
每次抽1 张，连续抽取两张全部可能的结果有：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、
2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共
16 个.………8 分
事件B 包含的结果有（1、2）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、2）（4、2），共7 个………10
分
所以所求事件的概率为P(B)
. ………………………………………………12 分
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18. 证明: （1）取PC 的中点G，连结FG、EG，
∴FG 为△CDP 的中位线 ∴FG
2
1
// CD …………1 分
∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点
∴AB
2
1
// CD ∴FG // AE ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF∥EG ………3 分
又EG 平面PCE，AF 平面PCE ∴AF∥平面PCE …………6 分
（2）∵ PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A
∴CD⊥平面ADP，又AF 平面ADP ∴CD⊥AF …………8 分
直角三角形PAD 中，∠PDA=45°
∴△PAD 为等腰直角三角形 ∴PA＝AD=2
∵F 是PD 的中点，∴AF⊥PD，又CDPD=D
∴AF⊥平面PCD …………11 分
∵AF∥EG ∴EG⊥平面PCD …………12 分
又EG 平面PCE ∴平面PCE⊥平面PCD …………14 分
19.
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20
21. 解：（1）① '( ) 2
a
f x bx
x
∵函数 f (x)在x 1处与直线
1
2
y 相切
'(1) 2 0
1 ,
(1)
2
f a b
f b
解得
1
1
2
a
b
…………3 分
②
2
2 1 1 1
( ) ln , '( )
2
x
f x x x f x x
x x
当
1
x e
e
时，令 f '(x) 0得 1
1
x
e
；
令 '( ) 0 f x ，得 e x 1
1 ,
1
( )
e
f x 在 上单调递增，在[1，e]上单调递减，
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max
1
( ) (1)
2
f x f …………8分
编辑者：哈尔滨家教（哈尔滨家教网)
