一、选择题（每小题5 分，总50 分）
1.已知集合 A{x x 1}， 2 B {x x 2x 0}，则 AB （ ）
A. {x x 0} B. {x x 1} C. {x 1 x 2} D. {x 0 x 2}
2.下列函数中，既是偶函数又在区间（0,）上单调递增的函数为（ ）
A． 1 y x B． y | x | C． 2 y log x D． 2 y x
3．设i 为虚数单位，则复数
2
i
i
等于（ ）
A．
1 2
5 5
i B．
1 2
5 5
i C．
1 2
5 5
i D．
1 2
5 5
i
4.设 f (x)为奇函数，当x 0时， f x x x 2 ( ) ，则 f 1 ( )
A. 2 B.0 C. 2 D. 1
5.某几何体的三视图如右图所示，它的体积为（ ）
A.72 B. 48 C.36 D.12
6.已知函数 1( 0)
1
( ) x
x
f x x ，则 f (x)的（ ）
A.最小值为3 B.最大值为3
C.最小值为1 D.最大值为1
7．函数 f (x) Asin(x )（其中 0,| |
2
A
）的图象如图所示，为了得到 f (x)的图像，
则只要将g(x) sin 2x的图像 （ ）
A．向左平移
6
个单位长度 B．向右平移
6
个单位长度
C．向左平移
3
个单位长度 D．向右平移
3
个单位长度
第7 题图
8.如右上图，在ABC中，点D是BC边上靠近B 的三
等分点，则AD （ ）
A． AB AC
3
1
3
2
B． AB AC
3
1
3
2
C． AB AC
3
2
3
1
D． AB AC
3
2
3
1
9.已知O 是坐标原点，点A(-1,1) ，若点 M(x,y) 为平面区域
y 2
1
2
x
x y
上的一个动点，则
OA OM 的取值范围是（ ）
A. [-1,0] B. [0,1] C. [0,2] D. [-1,2]
10．设函数3 f (x) x 4x a(0 a 2)有三个零点 1 2 3 x , x , x ，
且1 2 3 x x x 则下列结论正确的是（ ）
A. 1 x 1 B. 2 x 0 C. 2 0 x 1 D. 3 x 2
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分．
11.已知 ,0)
2
(
,且
4
sin( ) ,
2 5
则tan
12.直线
1
4
y x b是函数
1
f (x)
x
的切线，则实数b ．
13. 设函数
2
1
2 1
( )
x
f x
x
0
0
x
x
，若 ( ) 1 0 f x ，则 0 x 的取值范围是
14. 向量AB, AC在正方形网格中的位置如图所示.
设向量a AC AB ,若a AB，则实数 __________.
三、解答题（共80 分）
C
A B
A B
C
D
D
A1
B1
B
A
15．（本小题满分12 分）
已知函数( ) sin( ), ( 0)
6
f x x
的周期是 .
（1）求 和( )
12
f
的值；
（2）求函数( ) ( ) ( )
6 12
g x f x f x
的最大值及相应x 的集合．
16.（本小题满分12 分）
某学校甲、乙两个班参加体育达标测试，统计
测试成绩达标人数情况得到如图所示的列联表， 已知
1
10
在全部学生中随机抽取 1 人为不达标的概率为 .
（1）请完成上面的列联表；
（2）若用分层抽样的方法在所有测试不达标的学生中随机抽取6 人，问其中从甲、乙两个班分别
抽取多少人？
（3）从（2）中的6 人中随机抽取2 人，求抽到的两人恰好都来自甲班的概率．
17. （本小题满分14 分）已知向量m=(sin B,1-cos B),且与向量n =(1,0)的夹角为
3
π
错误!未找
到引用源。,其中A,B,C 是△ABC 的内角.
(1)求角B 的大小;
(2)求sin A+sin C 的取值范围.
18. （本小题满分14 分）
如图,在三棱柱1 1 1 ABC A BC 中，侧棱 1 AA 底面ABC ,
组别 达标 不达标 总计
甲班 8
乙班 54
合计 120
AB BC,D为 AC的中点, 1 A A AB 2 , BC 3.
(1)求证： 1 AB / /平面 1 BC D ；
(2) 求四棱锥1 1 B AAC D的体积.
19.（本小题满分14 分）
已知函数 f (x) x aln x
（I）当a 1时，求曲线 y f (x)在点(1, f (1))处的切线方程；
（II）在（I）的条件下，求 f (x)的极值；
（III）讨论 f (x)的单调区间。
20．(本小题满分14分）已知 f (x) x ln x, g x x x a 2
2
1
( ) ．
（1）当a 2时，求函数y g(x)在[0,3]上的值域；
(2) 求函数 f (x)在[t,t 2](t 0)上的最小值；
(3) 证明: 对一切x(0,)，都有
( ) 1 2
ln x
g x
x x
e e
成立
2018 届高三上学期期中数学（文科）考试参考答案
CBAAD DABCC
-
4
3
; 1或-1; ; 3
15.解：（1）∵函数( ) sin( )
6
f x x
的周期是 且 0
T
2
，解得 2 … ……………………………………………………2分
∴ ( ) sin(2 )
6
f x x
…………………………3 分
∴ 3
( ) sin(2 ) sin
12 12 6 3 2
f
………………………………………5 分
（2） ( ) ( ) ( ) sin[2( ) ] sin[2( ) ]
6 12 6 6 12 6
g x f x f x x x
……………6 分
sin(2 ) sin 2 cos2 sin 2 2 sin(2 )
2 4
x x x x x
…………………8 分
当2 2 ,
4 2
x k k z
即
8
x k
时， g(x)取最大值 2 …………………10分
此时x 的集合为{ , }
8
x x k k Z
……………………………………12分
16.解：（1）
……………………3 分
（2）由表可知：用分层抽样的方法从甲班抽取的人数为
8
6=4
12
人，……………4 分
从乙班抽取的人数为
4
6=2
12
人……………………………………………5 分
（3）设从甲班抽取的人为a,b, c,d ，从乙班抽取的人为 1，2；
“抽到的两个人恰好都来自甲班”为事件A .………………………………………6 分
所得基本事件共有15 种，即：
ab,ac,ad,a1,a2,bc,bd,b1,b2,cd,c1,c2,d1,d2,12 ……………………………8 分
其中事件 A包含基本事件ab,ac,ad,bc,bd,cd，共 6种，……………………10分
由古典概型可得
6 2
( )
15 5
P A ……………………………………………………12 分
17.解:(1)∵m=(sin B,1-cos B),且与向量n=(1,0)的夹角为错误!未找到引用源。,
组别 达标 不达标 总计
甲班 54 8 62
乙班 54 4 58
合计 108 12 120
∴cos 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用
源。, …………3 分
∴2sin2B=1-cos B, …………4 分
∴2cos2B-cos B-1=0, …………5 分
∴cos B=1 或cos B=-错误!未找到引用源。…………6 分
又0
(2)由(1)可得A+C=错误!未找到引用源。,∴sin A+sin C=sin A+Sin（错误!未找到引用源。 -A）
=错误!未找到引用源。sin A+错误!未找到引用源。cos A=sin（A+错误!未找到引用源。）, ……10
分
∵0
用源。,…………11 分
∴sin A+错误!未找到引用源。∈错误!未找到引用源。,…………13 分
∴sin A+sin C∈错误!未找到引用源。.…………14 分
18. （1）证明:连接1 BC,设1 BC 与1 BC 相交于点O,连接OD,
∵ 四边形1 1 BCC B 是平行四边形, ∴点O为1 BC 的中点.
∵ D 为AC 的中点，∴OD为△ 1 ABC 的中位线,
∴ OD/ /AB1 . ……………………… 3分
∵OD 平面1 BC D , 1 AB 平面1 BC D ,
∴ 1 AB / /平面 1 BC D . …………………………………… 6 分
(2)解法1: ∵ 1 AA 平面ABC , 1 AA 平面1 1 AAC C ,
∴ 平面ABC 平面1 1 AAC C ，且平面ABC 平面1 1 AAC C AC.
作BE AC，垂足为E ，则BE 平面 1 1 AAC C ， …………… 8 分
∵ 1 AB BB 2，BC 3，
在Rt△ ABC 中， 2 2 AC AB BC 49 13，
6
13
AB BC
BE
AC
，… 10 分
∴四棱锥1 1 B AAC D的体积 1 1 1
1 1
3 2
V AC AD AA BE …… 12分
1 3 6
13 2
6 2 13
3.
∴四棱锥1 1 B AAC D的体积为3. …… 14分
解法2:提示
B AA1C1D D CBC1 V V V 三棱柱
19.解：（I）当a 1时， f (x) x ln x，
1
f '(x) 1 (x 0)
x
------------------------------1 分
f (1) 1， f '(1) 2 -------------------------------3 分
所以切线方程为2x y 1 0 --------------------------------5 分
（2）函数的定义域为(0,)，由（1）得
x
x
f x
1
( ) '
，-----6 分
∵x>0 ( ) 0 ' f x 恒成立 -----8 分
∴f(x)在(0,)上单调递增，没有极值 ---------9分
（3） '( ) ( 0)
x a
f x x
x
-----------------------------10 分
当a 0时，在x(0,)时 f '(x) 0，所以 f (x)的单调增区间是(0,)；-11分
当a 0时，函数 f (x)与 f '(x)在定义域上的情况如下：
x (0,a) a (a,)
f '(x) 0 +
f (x) ↘ 极小值 ↗
------------------------------------13 分
综上，当a 0时， f (x)的单调增区间是(0,)；当 a<0 时， f (x)的单调增区间是(a,)，减
区间是(0,a)。---------------14分
20．(本小题满分14 分)
解：（1）∵g(x) =
2
3
( 1)
2
1 2 x , x∈[0,3] ………….. 1分
当x 1时，
2
3
( ) (1) min g x g ；当x 3时，
2
7
( ) (3) max g x g
故g(x)值域为 ]
2
7
,
2
3
[ ………………. 3 分
（2）f '(x) ln x 1，当
1
x (0, )
e
，f '(x) 0，f (x)单调递减，当
1
x ( , )
e
，f '(x) 0，f (x)单
调递增． …………………………. 5 分
①
1
0 t t 2
e
，t 无解； …………… 6 分
②
1
0 t t 2
e
，即
1
0 t
e
时， min
1 1
f (x) f ( )
e e
； ………………. 7 分
③
1
t t 2
e
，即
1
t
e
时， f (x)在[t,t 2]上单调递增， min f (x) f (t) t lnt ；……8分
所以min
1 1
0
( )
1
ln
t
e e
f x
t t t
e
，
，
． ………………. 9 分
编辑者：哈尔滨家教（哈尔滨家教网)
