一、单选题（共12小题）
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A．（1，3） B．（1，4）
C．（2，3） D．（2，4）
考点：集合的运算
答案：D
试题解析：因为 所以
2．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A．-8 B． C． D．8
考点：平面向量坐标运算
答案：A
试题解析： 因为 ，所以 所以
3．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
考点：充分条件与必要条件
答案：A
试题解析：当 时， 成立；当 时， 或
所以“ ”是“ ”的充分非必要条件.
4．为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动 个单位长度 B．向右平行移动 个单位长度
C．向上平行移动 个单位长度 D．向下平行移动 个单位长度
考点：三角函数图像变换
答案：A
试题解析：函数y=sinx的图象向左平行移动 个单位长度，得到函数y=sin 的图象.
5．在 中， ， 边上的高等于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
考点：解斜三角形
答案：D
试题解析：如图，设 则
因为 所以 所以
在 中，
所以
6．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
考点：指数与指数函数
答案：A
试题解析：因为
是增函数，所以 .
7．函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
考点：三角函数的图像与性质
答案：A
试题解析：由图得： 所以
因为 所以 所以
把点 代入得： 所以 即
所以
8．已知a是函数 的极小值点，则a=（ ）
A．-4 B．-2 C．4 D．2
考点：利用导数求最值和极值
答案：D
试题解析：
所以 的增区间是 减区间是 所以极小值点
9．已知 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考点：函数的奇偶性
答案：C
试题解析：因为 是定义在 上的偶函数，
所以由 得：
所以
因为 在 上单减，
所以 即
10． 的内角A、B、C的对边分别为 ．已知 ， ， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
考点：余弦定理
答案：D
试题解析：因为 ，所以
即 解得
11．等比数列 的各项均为正数，且 ，则 （ ）
A．12 B．10
C． D．
考点：等比数列
答案：B
试题解析：因为等比数列 ，所以 ，
12．下列函数中，其定义域和值域分别与函数 的定义域和值域相同的是（ ）
A． B．
C． D．
考点：函数的定义域与值域
答案：D
试题解析：函数 的定义域和值域都是 ，
A：定义域和值域都是
B：定义域 ,值域
C：定义域 值域 ,
D：定义域和值域都是 ,所以选D.
二、填空题（共4小题）
13. 中， ，则 ________
考点：正弦定理
答案： 或
试题解析：因为 所以
所以 所以
14.函数 的图像，其部分图象如图所示，则 _______.
考点：三角函数的图像与性质
答案：
试题解析：因为 所以 所以
把点 代入，
所以 即 所以
15.一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，体积为 ，则它的表面积为________.
考点：空间几何体的表面积与体积
答案：
试题解析：设棱长为 则
所以 所以
所以表面积
16.已知数列 的通项公式是 ，则 .
考点：倒序相加，错位相减，裂项抵消求和
答案：
试题解析：因为 ，所以
所以
三、解答题（共7小题）
17.已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值．
考点：三角函数综合
答案：见解析
试题解析：（1）因为
所以函数 的最小正周期为
（2）由（1）的计算结果知，
当 时，
由正弦函数y＝sin x在 上的图象知，
当 ，即 时， 取最大值
当 ，即 时， 取最小值0.
18.在 中，角 所对的边分别为 ，满足 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的值．
考点：解斜三角形
答案：见解析
试题解析：（1）△ABC中，由 ，
利用正弦定理可得 ，
即 .
再利用余弦定理可得， ∴
（2）由（1）可得 ①，
又 ,
②.
由①②及 可得： 所以
19.已知 是递增的等差数列， 是方程 的根．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和．
考点：倒序相加，错位相减，裂项抵消求和
答案：见解析
试题解析：（1）方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，
由题意得
设数列 的公差为d，则
故 ，从而 所以{an}的通项公式为
（2）设 的前n项和为Sn，由（1）知 则
（1）
两边同乘以 得：
（2）
（1）式-（2）式得
所以
20.某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为 万元（n为正整数）.
（1）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 万元，进行技术改造后的累计纯利润为 万元（须扣除技术改造资金），求 的表达式；
（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
考点：数列综合应用
答案：见解析
试题解析：（1）依题意知，数列 是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以
（2）依题意得， ，即 ，
可化简得 ， 可设 ，
又 可得 是减函数， 是增函数，
又
则 时不等式成立，即至少经过4年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
21.已知函数 ，直线 .
（Ⅰ）求函数 的极值；
（Ⅱ）求证：对于任意 ，直线 都不是曲线 的切线；
（Ⅲ）试确定曲线 与直线 的交点个数，并说明理由.
考点：导数的综合运用
答案：见解析
试题解析：（Ⅰ）函数 定义域为 ，
求导，得 ，
令 ，解得 ．
当 变化时， 与 的变化情况如下表所示：
所以函数 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ，
所以函数 有极小值 ，无极大值．
（Ⅱ）证明：假设存在某个 ，使得直线 与曲线 相切，
设切点为 ，又因为 ，
所以切线满足斜率 ，且过点 ，
所以 ，
即 ，此方程显然无解，
所以假设不成立．
所以对于任意 ，直线 都不是曲线 的切线.
（Ⅲ）“曲线 与直线 的交点个数”等价于“方程 的解的个数”.
由方程 ，得 .
令 ，则 ，其中 ，且 .
考察函数 ，其中 ，
因为 ，
所以函数 在 单调递增，且 .
而方程 中， ，且 .
所以当 时，方程 无根；当 时，方程 有且仅有一根，故当 时，曲线 与直线 没有交点，而当 时，曲线 与直线 有且仅有一个交点.
22.已知直线l的参数方程： （t为参数），曲线C的参数方程： （α为参数），且直线交曲线C于A，B两点．
（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求 时， 的长度；
（Ⅱ）已知点P：（1，0），求当直线倾斜角 变化时， 的范围．
考点：参数和普通方程互化
答案：见解析
试题解析：（Ⅰ）曲线C的参数方程： （ 为参数），曲线C的普通方程为 ．
当 时，直线AB的方程为， ，
代入 ，可得 ， 或
；
（Ⅱ）直线参数方程代入 ，得 ．
设A，B对应的参数为t1，t2，
23.设函数
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）当 时，对于 ，都有 成立，求 的取值范围．
考点：绝对值不等式
答案：见解析
试题解析：（1）令 ，解得 ，令 ，解得 ．
当 时，原不等式化为： ，解得 ，此时无解；
当 时，原不等式化为： ，解得 ，可得 ；
当 时，原不等式化为： ，解得 ，可得 ．
综上可得：原不等式的解集为 ．
（2）令 ，当 时， ，由 ，
可得 ，对于 ，
使得 恒成立．只需 ， ，
作出 的图象，可得： ，
∴ ，可得 ．
编辑者：哈尔滨家教（哈尔滨家教网)
