本试卷共4 页,150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷
上作答无效。考试结束后,将答题纸交回。
第一部分(选择题,共40 分)
一、选择题共8 小题,每小题5 分,共40 分。在每小题列出的四个选项中,选
出符合题目要求的一项。
(1)若集合 A { x | x 2 0}, { | 1}
x
B x e ,则A B ( )
(A)R (B) ( , 2 )
(C)(0 , 2 ) (D)( 2 , )
(2)下列函数中,既是偶函数又在区间(0, ) 上单调递增的是 ( )
(A) f ( x ) ln | x | (B) ( ) 2
x
f x
(C) 3
f ( x ) x (D) 2
f ( x ) x
(3)已知向量a (1, 0 ),b ( 1,1) ,则 ( )
(A) a / / b (B) a b
(C)(a b ) / / b (D)(a b ) a
(4)已知数列{ } n a 满足
1 2 2 2 ( 1, 2, 3, ...) n a a a a n ,则 ( )
(A) 1 a 0 (B)
1 a 0
(C) 1 2 a a (D)
2 a 0
(5)将s in ( 2 )
6
y x
的图象向左平移
6
个单位,则所得图象的函数解析式为( )
(A) y s in 2 x (B) y c o s 2 x
(C) s in ( 2 )
3
y x
(D) s in ( 2 )
6
y x
(6)设 R ,则“ 是第一象限角”是“s in c o s 1”的 ( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(7)设 s in s in
e e
x x
f x
( x R ),则下列说法不正确的是 ( )
(A) f x 为R 上偶函数 (B) 为 f x 的一个周期
(C) 为 f x 的一个极小值点 (D) f x 在区间( 0 , )
2
上单调递减
(8)已知非空集合A, B 满足以下两个条件:
(ⅰ) A B 1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 , A B ;
(ⅱ) A 的元素个数不是A 中的元素, B 的元素个数不是B 中的元素,
则有序集合对 A , B 的个数为 ( )
(A)1 0 (B)1 2 (C)1 4 (D)1 6
第二部分(非选择题,共110 分)
二、填空题共6 小题,每小题5 分,共30 分。
(9) 定积分
1
3
1
x d x
的值等于 .
(10)设在海拔x (单位:m)处的大气压强y (单位:kPa), y 与x 的函数关系可近似
表示为1 0 0 e
a x
y ,已知在海拔1000 m 处的大气压强为90 kPa,则根据函数关系式,在海
拔2000 m 处的大气压强为 kPa.
(11)能够说明“设x 是实数.若 x 1 ,则
1
3
1
x
x
”是假命题的一个实数x 的值
为 .
(12)已知 A B C 是边长为 2 的正三角形,O ,D 分别为边A B ,B C 的中点,则
① A D A C ;
② 若O C x A B y A D ,则x y .
(13)已知函数
1
( )
s in ( )
f x
x
(其中 0 ,
2
)的部分
图象如图所示,则 , .
(14)已知函数 f ( x ) 是定义在R 上的奇函数,
当x 0 时, 2
f ( x ) x a x a ,其中a R .
① f ( 1) ;
② 若 f ( x ) 的值域是R ,则a 的取值范围是 .
三、解答题共6 小题,共80 分。解答应写出文字说明,验算步骤或证明过程。
(15)(本小题13 分)
已知函数( ) 2 2 c o s s in ( ) 1
4
f x x x
.
(Ⅰ)求( )
4
f
的值;
(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间[0 , ]
2
上的最大值和最小值.
(16)(本小题13 分)
已知{ } n a 是等比数列,满足
2 a = 6 ,
3 a = - 1 8,数列{ } n b 满足
1 b 2 ,且{2 } n n b a
是公差为2 的等差数列.
(Ⅰ)求数列{ } n a 和{ } n b 的通项公式;
(Ⅱ)求数列{ } n b 的前n 项和.
(17)(本小题13 分)
已知函数( ) ( 1) ln
a
f x x a x
x
,其中a 0 .
(Ⅰ)当a 2 时,求曲线 y f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线方程;
(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间[1, e ]上的最小值.(其中e 是自然对数的底数)
(18)(本小题13 分)
如图,在四边形A C B D 中,
1
c o s
7
C A D ,且 A B C 为正三角形.
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(Ⅰ)求c o s B A D 的值;
(Ⅱ)若C D 4 ,BD 3 ,求 A B 和A D 的长.
(19)(本小题14 分)
已知函数( ) 2 e s in
x
f x x (0 x ),g(x) (x nl)1 x m (m R )
(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间;
(Ⅱ)求证:1是g ( x ) 的唯一极小值点;
(Ⅲ)若存在a ,b (0 , ) ,满足 f ( a ) g (b ) ,求m 的取值范围.(只需写出结论)
(20)(本小题14 分)
若数列A :
1 a ,
2 a ,…,
n a (n 3 )中 *
i a N (1 i n )且对任意的2 k n 1
1 1 2 k k k a a a 恒成立,则称数列A 为“U 数列”.
(Ⅰ)若数列1 , x , y , 7 为“U 数列”,写出所有可能的x , y ;
(Ⅱ)若“U 数列” A :
1 a ,
2 a ,…,
n a 中,
1 a 1, 2 0 1 7 n a ,求n 的最大值;
(Ⅲ)设
0 n 为给定的偶数,对所有可能的“U 数列” A :
1 a ,
2 a ,…,
0 n a ,
记
0 1 2 m ax { , , . . . , } n M a a a ,其中
1 2 m ax { , , ..., } s x x x 表示
1 x ,
2 x ,…,
s x 这s 个数中最大
的数,求M 的最小值.
海淀区高三年级第一学期期中考试参考答案 2017.11
数 学(理科)
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.
一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共40 分.
Z*xx*k.Com]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 C A D D B C D[来 A
二、填空题:本大题共6 小题,每小题5 分,共30 分.(有两空的小题第一空3 分)
9. 0 10.81 11.2 12.(1) 3 (2)
1
2
13. 2 ,
3
14.(1) 1 (2)( , 0 ] [ 4 , )
三、解答题: 本大题共6 小题,共80 分.
15.(本题13 分)
解:(Ⅰ)因为 ( ) 2 2 co s s in 1
4 4 2
f
…1 分
2
2 2 1 1
2
……………………2 分
1 ……………………3分
(Ⅱ) ( ) 2 2 c o s s in ( ) 1
4
f x x x
2 2
2 2 co s ( s in + co s ) 1
2 2
x x x ……………………4分
2
2 s in x co s x 2 co s x 1
s in 2 x co s 2 x ……………………8 分
(一个公式2 分)
2 s in ( 2 )
4
x
…………10 分
因为0
2
x
, 所以
5
2
4 4 4
x
……11 分
所以
2
s i n 2 1
2 4
x
故 1 2 s in 2 2
4
x
当2 ,
4 2
x
即
8
x
时, f ( x ) 有最大值 2
当
5
2 ,
4 4
x
即
2
x
时, f ( x ) 有最小值 1 …13分
(函数最大值和最小值结果正确1 分,写出取得最大值和最小值时对应自变量的取值1 分)
16.(本题13 分)
解:(Ⅰ)设数列{ } n a 的公比为q ,则
2 1
2
3 1
6
18
a a q
a a q
……………………2 分
解得
1 a 2 ,q 3 ……3 分
所以, 1
2 ( 3)
n
n a
……5 分
令2 n n n c b a ,则
1 1 1 c 2b a 2
2 ( 1) 2 2 n c n n ……………………7 分
1
( 3)
2
n n n
n
c a
b n
……………………9 分
(Ⅱ)
( 1) 1 ( 3)
2 4
n
n
n n
S
……13 分
(分组求和,每组求对给2 分)
17.(本题13 分)
解:(Ⅰ)当a 2 时,
2
f ( x ) x 3 ln x
x
2
( 1) ( 2 )
'( )
x x
f x
x
,……1 分
此时, f (1) 1, f '(1) 0 , ……2 分
故曲线 y f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线方程为 y 1. ………3分
(Ⅱ) ( ) ( 1) ln
a
f x x a x
x
的定义域为(0 , ) ……4分
2 2
1 ( 1) ( )
'( ) 1
a a x x a
f x
x x x
……………………5 分
令 f '( x ) 0 得,x a 或x 1 ……6 分
① 当0 a 1时,
对任意的1 x e , f '( x ) 0 , f ( x ) 在[1, e ] 上单调递增 ……7分
f ( x ) f (1) 1 a 最小 …………8 分
② 当1 a e 时
x (1, a ) a ( a , e )
f '( x ) 0
f ( x ) ↘ 极小 ↗
…………10 分
f ( x ) f ( a ) a 1 ( a 1) ln a 最小
…………11 分
② 当a e 时,
对任意的1 x e , f '( x ) 0 , f ( x ) 在[1, e ] 上单调递减 ……12 分
( ) ( ) ( 1)
a
f x f e e a
e
最小 …………………… 13 分
由①、②、③可知,
1 , 0 1
( ) 1 ( 1) ln , 1
( 1) ,
a a
g a a a a a
a
a a
e
e e
e
18.(本题13 分)
解:(Ⅰ)因为
1
c o s
7
C A D , C A D (0 , )
所以
4 3
s in
7
C A D
…………………… 2 分 (没写角取值范围的扣1 分 )
所以 c o s B A D
c o s ( )
3
C A D
c o s c o s s in s in
3 3
C A D C A D
……………………4 分
1 1 4 3 3
7 2 7 2
1 1
1 4
…………………… 6 分
(Ⅱ)设 A B A C B C x , A D y ,在 A C D 和 A B D 中由余弦定理得
2 2 2
2 2 2
2 c o s
2 c o s
A C A D A C A D C A D C D
A B A D A B A D B A D B D
…………………10 分
(每个公式给2 分)[,k.Com]
代入得
2 2
2 2
2
1 6
7
1 1
3
7
x y x y
x y x y
解得
7
7
x
y
或
7
7
x
y
(舍)
即 A B 7 , AD 7 ……13分
19.(本题14 分)
解:(Ⅰ) 因为'( ) 2 ( s in co s )
x x
f x e x e x ……2分
2 s in ( )
4
x
x
e
令 f '( x ) 0 ,得s in ( ) 0
4
x
[源:Zxxk.Co
因为0 x ,所以
3
4
x ……3 分
当x 变化时, f '( x ) , f ( x ) 的变化情况如下:
x
3
(0 , )
4
3
4
3
( , )
4
f '( x ) 0
f ( x ) 极大值
…………………… 5 分
故 f ( x ) 的单调递增区间为
3
(0 , )
4
, f ( x ) 的单调递减区间为
3
( , )
4
……6 分
(Ⅱ)证明: g ( x ) ( x 1) ln x m
1
g '( x ) ln x 1
x
(x 0 ), ……7 分
设
1
h ( x ) g '( x ) ln x 1
x
,则 '
2
1 1
h ( x ) 0
x x
故g '( x ) 在(0 , )是单调递增函数, ……8 分
又 g '(1) 0 ,故方程g '( x ) 0 只有唯一实根x 1 ……10分
当x 变化时,g '( x ) ,g ( x ) 的变化情况如下:
x (0 ,1) 1 (1, )
g '( x ) 0
g ( x ) 极小值
…………12 分
故g ( x ) 在x 1 时取得极小值g (1) m ,即1是g ( x ) 的唯一极小值点.
(Ⅲ)
3
4 m
e ……14 分
20.(本题14 分)
解:(Ⅰ)
1
2
x
y
,
1
3
x
y
或
2
4
x
y
……3 分
(Ⅱ) n 的最大值为6 5 ,理由如下 ……4 分
一方面,注意到:
1 1 1 1 2 k k k k k k k a a a a a a a
对任意的1 i n 1 ,令
i i 1 i b a a ,则
i b Z 且
k k 1 b b (2 k n 1),
故
1 1 k k b b 对任意的2 k n 1恒成立.
(★)
当
1 a 1, 2 0 1 7 n a 时,注意到
1 2 1 b a a 1 1 0 ,得
1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 i i i i i b b b b b b b b i (2 i n 1)
此时
1 1 2 1
1
0 1 2 2 ( 1) ( 2 )
2
n n a a b b b n n n
即
1
( 1) ( 2 ) 2 0 1 7 1
2
n n ,解得: 6 2 n 6 5 ,故n 6 5 ……7分
另一方面,取1 i b i (1 i 6 4 ),则对任意的2 k 6 4 ,
k k 1 b b ,故数
列{ } n a 为“U 数列”,此时
65 a 1 0 1 2 6 3 2 0 1 7 ,即n 6 5 符合题意.
综上, n 的最大值为65. …………9 分
(Ⅲ) M 的最小值为
2
0 0 2 8
8
n n
,证明如下: …………………… 10 分
当
0 n 2m (m 2 , *
m N )时,
一方面:
由(★)式,
1 1 k k b b ,
1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) m k k m k m k m k m k k k b b b b b b b b m .
此时有:
1 2 1
1 2 2 1 1 2 1
1 1 2 2 2 1 1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( 1)
m m m
m m m m
m m m m
a a a a
b b b b b b
b b b b b b
m m m
m m
故
2 2
1 2 1 0 0 ( 1) 2 2 8
2 2 2 8
m m m a a a a m m m m n n
M
……13 分
另一方面,当
1 b 1 m ,
2 b 2 m ,…,
1 1 m b , 0 m b ,
1 1 m b ,…,
2 1 1 m b m 时,
1 1 1 1 1 2 ( ) ( ) 1 0 k k k k k k k k k a a a a a a a b b
取1 m a ,则
1 1 m a ,
1 2 3 m a a a a ,
m 1 m 2 2 m
a a a
,且
1 1 2 1
1
( ) ( 1) 1
2
m m a a b b b m m
2 1 1 2 2 1
1
( ) ( 1) 1
2
m m m m m a a b b b m m
此时
2
0 0
1 2
1 2 8
( 1) 1
2 8
m
n n
M a a m m
.
综上, M 的最小值为
2
0 0 2 8
8
n n
.
……………14 分
编辑者:哈尔滨家教(哈尔滨家教网)