[重点]
等差数列的概念、等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式。
1. 定义:数列{an}若满足an+1-an=d(d为常数)称为等差数列,d为公差。它刻划了“等差”的特点。
2. 通项公式:an=a1+(n-1)d=nd+(a1-d)。若d ,表示an是n的一次函数;若d=0,表示此数列为常数列。
3. 前n项和公式:Sn= =na1+ 。若d 0,表示Sn是n的二次函数,且常数项为零;若d=0,表示Sn=na1.
4. 性质:①an=am+(n-m)d。② 若m+n=s+t,则am+an=as+at 。特别地;若m+n=2p,则am+an=2ap。
5.方程思想:等差数列的五个元素a1、、d、n、an、sn中最基本的元素为a1和d,数列中的其它元素都可以用这两个元素来表示。
函数思想:等差数列的通项和前n项和都可以认为是关于n的函数,因此数列问题可以借助于函数知识来解决。
[难点]
等差数列前n项和公式的推导,通项和前n项和的关系,能够化归为等差数列问题的数列的转化。
如:an与sn关系:an=
此公式适用于任何数列。
化归思想:把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数字思想。
一、选择题
1.数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为4的等差数列。若an=bn,则n的值为( )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
2.关于等差数列,有下列四个命题
(1)若有两项是有理数,则其余各项都是有理数 (2)若有两项是无理数,则其余各项都是无理数 (3)若数列{an}是等差数列,则数列{kan}也是等差数列 (4)若数列{an}是等差数列,则数列{a2n}也是等差数列
其中是真命题的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
3.在等差数列{an}中,am=n,an=m,则am+n的值为( )
(A)m+n (B)
(C) (D)0
4.在等差数列{an}中,若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为( )
(A)30 (B)27 (C)24 (D)21
5.一个直角三角形的三条边成等差数列,则它的最短边与最长边的比为( )
(A)4∶5 (B)5∶13 (C)3∶5 (D)12∶13
6.在等差数列{an}中,Sm=Sn,则Sm+n的值为( )
(A)0 (B)Sm+Sn
(C)2(Sm+Sn) (D)
7.数列{an}的前n项和Sn=n2+1是an=2n-1成立的( )
(A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
8.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为( )
(A)3、8、13、18、23 (B)4、8、12、16、20
(C)5、9、13、17、21 (D)6、10、14、18、22
9.一个凸n边形内角的度数成等差数列,公差为5°,且最大角为160°,则n的值为( )
(A)9 (B)12 (C)16 (D)9或16
10.在等差数列{an}中,Sp=q,Sq=q,Sp+q的值为( )
(A)p+q (B)-(p+q) (C)p2-q2 (D)p2+q2
11.已知等差数列{an}满足a1+a2+……+a99=0,则( )
(A)a1+a99>0 (B)a2+a98<0 (C)a3+a97=0 (D)a50=50
12.若数列{an}为等差数列,公差为 ,且S100=145,则a2+a4……+a100的值为( )
(A)60 (B)85 (C) (D)其它值
13.若a1,a2, ……,a2n+1成等差数列,奇数项的和为75,偶数项的和为60,则该数列的项数为( )
(A)4 (B)5 (C)9 (D)11
14.无穷数列1,3,6,10……的通项公式为( )
(A)an=n2-n+1 (B)an=n2+n-1
(C)an= (D)an=
15.已知数列{an}的前n项和为an2+bn+c,则该数列为等差数列的充要条件为( )
(A)b=c=0 (B)b=0 (C)a 、c=0 (D)c=0
16.已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n+1(4n-3),则它的前100项之和为( )
(A)200 (B)-200 (C)400 (D)-400
17.若数列{an}由a1=2,an+1=an+2n(n )确定,则a100的值为( )
(A)9900 (B)9902 (C)9904 (D)9906
18.已知两个数列3,7,11,…,139与2,9,16,…,142,则它们所有公共项的个数为( )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
19.已知等差数列{an}的公差为d,d 0,a1 d,若这个数列的前20项的和为S20=10M,则M等于( )
(A)a4+a16 (B)a20+d (C)2a10+d (D)a2+2a10
20.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a )的四个根可以组成首项为 的等差数列,则a+b的值为( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题
1. 数列{an}中,a1=p,a2=q,an+2+an=2an+1,则a2n= 。
2. 在等差数列{an}中,已知a2+a7+a8+a9+a14=70,则a8= 。
3. 在等差数列{an}中,S4=6,S8=20,则S16= 。
4. 在等差数列{an}中,S3=S8,S2=Sn,则n= 。
5. 某露天剧场共有28排座位,第一排有24个,后一排比前一排增加两个座位,则全剧场共有座位 个。
6. 成等差数列的四个数之和为26,第一个数与第四个数积为22,则这四个数为 。
7. 打一口深20米的井,打到第一米深处时需要40分钟,从第一米深处打到第二米深处需要50分钟,以后每深一米都要比前一米多10分钟,则打到最后一米深处要用 小时,打完这口井总共用 小时。
8. 在等差数列{an}中, = ,则当Sn最大时的n为 。
9.在项数为n的等差数列{an}中,前三项之和为12,最后三项之和为132,前n项之和为240,则n= 。
10.已知数列{an}的通项公式an= ,bn= ,则{bn}的前n项和为 。
三、解答题
1. 已知数列{an}为等差数列,前30项的和为50,前50项的和为30,求前80项的和。
2. 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+C(C为常数),求数列{a0}的通项公式,并判断{an}是不是等差数列。
3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,bn= ,且a3b3= ,S5+S3=21,求bn。
4. 已知数列{an}为首项a1 0,公差为d 0的等差数列,求Sn= 。
5. 求从1到100中所有不被3及5整除的整数之和。
6. 用分期付款方式购买家用电器一件,价格为1150,购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第十个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花了多少钱?
7. 已知等差数列{an},a1=29,S10=S20,问这个数列的前多少项的和最大?并求最大值。
8.已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7
(1)设f(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列{an},求证:{an}为等差数列。
(2)设f(x)的图像的顶点到x轴的距离构成{bn},求{bn}的前n项和。
第七单元 等差数列
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D B C A D C A B
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 C B C C D B B B C D
9.·n160°+
13.S奇= 。
14.a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…an-an-1=n,累加得an-a1=2+3+4+…+n,故an=
18.an=4n-1(n 35),bk=7k-5(k 21),4n-1=7k-5,故4(n+1)=7k,由于4与7互质,令k=4t,t 5,故n=7t-1,t=1,2,3,4,5时,出现公共项。
20.四根之和为2,则四根为 。
a= 得a+b= 。
二、填空题
1.p+(2n-1)(q-p) 2.14 3.72 4.9 5.1428 6.2,5,8,11或11,8,5,2。 7。 。
8.8或9a1+3d=-(a1+13d),得a1=-8d 由 得
9.10
a1+a2+a3=12,an-2+an-1+an=132,相加得3(a1+an)=144,a1+an=48,求得Sn= =240,n=10。
10. 。
三、解答题
1.
S50-S30=a31+a32
+…+a50= =30-50=-20。
∴a1+a80=-2 ∴S80= 。
2.当n=1时,a1=S1=1+c
当n 时,an=Sn-Sn-1=(n2+c)-[(n2+c)]-[(n-1)2+C]=2n-1。
∴an=
若C=0,an=2n-1,此时an-an-1=2(n ){an}为等差数列。
若C 0,C+1 1,{an}不为等差数列。
3. 由①,得a1=d。由②,得8a1+13d=1。
故a1=d=1。
∴Sn=
4.
∴Sn=
= 。
5.设S表示从1到100的所有整数之和。S1表示从1到100中所在能被3整除的整数的和。
S2表示从1到100中所有能被5整除的整数的和。
S3表示从1到100中所有既能被3整除,又能被5整除的整数的和。
则S= 。
由99=3+(n-1)×3,得n=33。 。
由100=5+(n-1) ×5,得n=20。
S3表示15,30,45,…,90之和 S3=
从1到100中所有不被3及5整除的整数之和为S-S1-S2+S3=2632。
6.购买时付了150元,欠款1000元。每月付50元,分20次付完,设每月付款数顺次组成数列{an},则
a1=50+1000×0.01=60
a2=50+(1000-50) ×0.01=60-0.5
a3=50+(1000-50×2) ×0.01=60-0.5×2
类推,得
a10=60-0.5×9=55.5
an=60-0.5(n-1)(1 n 20)。
∴ 付款数{an}组成等差数列,公差d=-0.5,全部贷款付清后,付款总数为
S20+150= (元)。
7.由S20=S10得2a1+29d=0 d=-2,an=a1+(n-1)d=-2n+31
Sn= =-n2+30n=-(n-15)2+225 ∴当n=15时,Sn最大,最大值为225。
8.(1)f(x)=[x-(n+1)2]+3n-8 ∴an=3n-8,∵ an+1-an=3 , ∴{an}为等差数列。
(2)b0=
当1 时,bn=8-3n,b1=5。Sn=
当n 3时。bn=3n-8 Sn=5+2+1+4+…(3n-8)
=7+
∴Sn=
编辑者:哈尔滨家教(哈尔滨家教网)