第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
（1）若集合A x x 2 0，集合 2 1
x
B x , 则A B
（A）R （B） ,2 （C）0 ,2 （D） 2 ,
（2）命题“ x 0 , sin x 1”的否定是
（A） x 0 , sin x 1 （B） x 0 , sin x 1
（C） x 0 , sin x 1 （D） x 0 , sin x 1
（3）下列函数中，既是偶函数又在 0 , 上单调递增的是
（A） 2 f ( x ) x （B） x
f x
( ) 3 （C） f ( x ) ln x （D） f ( x ) x sin x
（4）已知数列 n a 满足
1 2 3 2 2 ( 1, 2, 3, ) n a a a a a n ，则
（A） 0 1 a （B） 0 1 a （C） 1 2 a a （D） 0 2 a
（5） 在平面直角坐标系xOy 中，点A 的纵坐标为2 ，点C 在x 轴的正半轴上.
在△ AOC 中，若
3
5
cos AOC ，则点A 的横坐标为
（A） 5 （B） 5 （C） 3 （D）3
（6）已知向量a , b 是两个单位向量，则“a b ”是
“ a b 2 ”的
（A）充分不必要条件 （B） 必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D） 既不充分也不必要条件
（7）已知函数
sin( )
1
( )
x
f x （ 0 ,
2
）的部分图象如图所
示，则, 的值分别为
（A）2 ,
3
（B）2 ,
3
（C） 1,
6
（D） 1,
6
（8） 若函数
, 0
, 0
2
2
x
x
ax x
xe
f x
x
的值域为1
[ , )
e
，则实数a
的取值范围是
（A）(0 , e ) （B） ( e , ) （C）(0 , e ] （D）[ e , )
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
（9） 已知等差数列 n a 满足
1 2 4 6 a 2, a a a ，则公差d =_____.
（10）已知向量a (1,0 ) ， b (m , n ) ，若b a 与a 平行，则 𝑛的值为______.
（11）已知函数 f ( x ) 是定义在R 上的周期为 2 的奇函数，当0 x 1时,
x
f x
1
( ) ，
则 ) (0 ) _______
2
5
f ( f .
（12）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t 秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）
由如下关系式确定：h 2 s in t 2 co s t , t [0 , ) ，则小球在开始振动（即t 0 ）
时h 的值为_________，小球振动过程中最大的高度差为__________厘米.
（13） 能够说明 “设x 是实数.若x 1 ，则 3
1
1
x
x ” 是假命题的一个实数x 的值
为______.
（14） 已知非空集合 A, B 满足以下两个条件：
（ⅰ） A B 1, 2 , 3, 4 , A B ；
（ⅱ）集合A 的元素个数不是A 中的元素，集合B 的元素个数不是B 中的元素.
那么用列举法表示集合A 为 .
三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13 分）
已知函数 ( ) 2 sin cos 2 cos 1
2
f x x x x .
（Ⅰ）求)
4
(
f 的值；
（Ⅱ）求函数 f ( x ) 的单调递增区间.
（16） （本小题13 分）
已知等比数列 n a 满足8 1 2 3 a a a ， 16 5 a .
（Ⅰ）求 n a 的通项公式及前n 项和
n S ；
（Ⅱ）设2 1 log n n b a ，求数列
1
1
n n b b
的前n 项和n T .
（17） （本小题13 分）
如图，△ ABD 为正三角形， A C / / D B ，AC 4 ，
7
21
cos ABC .
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（Ⅰ）求sin ACB 的值；
（Ⅱ）求AB ，CD 的长.
（18）（本小题13 分）
已知函数 , 2 3
3
f x x x g x x .
（Ⅰ）求曲线 y f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 f ( x ) 在0 ,2 上的最大值；
（Ⅲ）求证：存在唯一的
0 x ，使得 0 0 f x g x .
（19） （本小题14 分）
已知数列 n a 满足1 1 2 a a ，
2 2 ( 1)
n
n n a a ，（n N*）.
（Ⅰ）写出5 6 a , a 的值； xk.Com]
（Ⅱ）设
n n b a 2 ，求 n b 的通项公式；
（Ⅲ）记数列 n a 的前n 项和为n S ，求数列 18 2
n
S 的前n 项和n T 的最小值.
(20) （本小题14 分）
已知函数 f ( x ) ( x x ) ln x
2
.
（Ⅰ）求证：1是函数 f ( x ) 的极值点;
（Ⅱ）设g ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数，求证：g( x ) 1 .
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 C D C D A C B D
二、填空题:本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.(有两空的小题第一空3 分)
9. 2 10. 0 11. 2
12. 2 ； 4 13. 2 14. 3或1,2,4 （答对一个给3分）
三、解答题: 本大题共6 小题，共80 分.
15.（本题13 分）
解：（I） 1
4
2 cos
4
cos
4
) 2 sin
4
(
2
f ……1 分
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
……3分 （s in
4
、c o s
4
值各1 分）
1 ……4分
（II） f ( x ) sin 2 x cos 2 x ……8 分 （一个公式2分）
2 s in 2
4
x
. ……10 分
令 2 2 2
2 4 2
k x k
……12 分
得
3
,
8 8
k x k k
Z
所以函数 f ( x )的单调递增区间为
3
, ,
8 8
k k k
Z . …13 分
说明：①如果没有代入
4
的过程或没有s in
4
和c o s
4
的函数值，但最后结果正
确扣1 分；如果第（I）问先化简的，按照第（II）问相应的评分标准给分。
② （II）问中解析式化简可以写成2 c o s ( 2 )
4
x
，参照上面步骤给分。
③求单调区间时， 3
,
8 8
k x k k
Z 正确，但没有写成区间形式、无
k Z ，只要居其一扣一分，不累扣。
16．（本题13 分）
解：（Ⅰ）设等比数列 n a 的公比为q .
因为 1 2 3 8 a a a ，且 2
1 3 2 a a a
所以8
3
2 a ，得 2 2 a ， ……2分
又因为3
5 2 a a q 1 6 ，所以 3
q 8 ，得q 2 ， 1 1 a . ……4 分
所以1 2
n
n a （n N+）， ……5 分
所以1 (1 )
1
n
n
a q
S
q
……6 分
1 2
1 2
n
2 1
n
…7 分
（Ⅱ）因为n
n a 2 1 ，所以b a n n n 2 1 log ， ……9 分
所以
1
1 1
( 1)
1 1
1
b b n n n n n n
. ……11 分
所以数列
1
1
n n b b
的前n 项 和
n T
1
1 1
3
1
2
1
2
1
1
n n
……12 分
1
1
1
n
1
n
n
. …13 分
17．（本题13 分）
解：（Ⅰ）因为△ABD 为正三角形，A C / / D B ，所以在△A B C 中，
3
BAC
，所以( )
3
A C B A B C
.
所以s in s in ( )
3
A C B A B C
……1 分
= s in c o s c o s s in )
3 3
A B C A B C
……3 分 （一个公式2 分）
因为在△ ABC 中， 21
co s
7
A B C ，ABC (0, ) ……4分
所以s in
2 7
7
A B C . ……5分
所以s in A C B
3 2 1 1 2 7 5 7
2 7 2 7 1 4
. …6 分
（Ⅱ）方法1：
在△ ABC 中， AC 4 ，由正弦定理得：
s in s in
A B A C
A C B A B C
， ……8 分
所以
5 7
4
s in 14
5
s in 2 7
7
A C A C B
AB
ABC
…9 分
又在正△ABD 中， AB AD ，
3
D A B
，
所以在△ A D C 中，
3
D A C
， …10 分
由余弦定理得：
CD AC AD 2 AC AD cos DAC 2 2 2 ……12 分
1 6 2 5 2 4 5 c o s 6 1
3
所以CD 的长为61 . ……13 分
方法2：在△ ABC 中，由正弦定理得：
s in s in s in
A B A C B C
A C B A B C B A C
， ……8 分
所以
5 7
4
s in 14
5
s in 2 7
7
A C A C B
AB
ABC
, ……9 分
3
4
s in 2
21
s in 2 7
7
A C B A C
BC
ABC
……10 分
所以
1 2 1 3 2 7
2 7 2 7
21
14
. ……11 分
在△ D B C 中，由余弦定理得
2 2 2
C D D B B C 2 D B B C co s D B C …12
21
2 5 2 1 2 5 2 1 ( )
14
6 1 .
所以CD 的长为61 . ……13 分
co s D B C co s ( D B A A B C )
c o s D B A c o s A B C s in D B A s in A B C
18. （本题13 分）
解：（Ⅰ）由3
f ( x ) x x ，得 ( ) 3 1 2
f x x , ……1分
所以 f (1) 2 ，又 f (1) 0 ……3 分
所以曲线 y f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线方程为： y 0 2 x 1，
即：2 x y 2 0 . ……4分
（Ⅱ）令 f x 0 ，得
3
3
x ……5 分
f ( x ) 与 f ( x ) 在区间[ 0 , 2 ]的情况如下：
x 3
(0 , )
3
3
3
3
( , 2 )
3
f x - 0 +
f x 极小值
……7 分
因为 f 0 0 , f 2 6 , ……8分
所以函数 f ( x ) 在区间0，2 上的最大值为6. ……9分
（Ⅲ）证明：设h x f x g x = 3 3
3
x x ，
则 3 1 1 2
h ( x ) 3 x 3 x x ， ……10 分
令h ( x ) 0 ，得x 1 .
h ( x ) 与h ( x ) 随x的变化情况如下：
x (−∞, −1) −1 (−1,1) 1 (1, +∞)
ℎ′(𝑥) + 0 − 0 +
ℎ(𝑥) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
则h x 的增区间为 , 1，1, ，减区间为 1,1 . ……11分
又h 1 1 0 ，h - 1 h 1 0 ，所以函数h ( x ) 在- 1, 没有零点， ……12 分
又h - 3 -15 0 ，
所以函数h ( x ) 在 , 1上有唯一零点
0 x . ……13 分
综上，在 , 上存在唯一的
0 x ，使得 ( ) ( ) 0 0 f x g x .
19.（本题14 分）
解：（Ⅰ） 3 4 a 1, a 3
3, 5 5 6 a a ； ……2分
（Ⅱ）设
n n b a 2 ， *
n N
则 2( 1) 2 2
1 2 2 2
n
n n n n b b a a ， ……4分
所以 n b 是以1 为首项，2 为公差的等差数列， ……5 分
所以1 ( 1) 2 2 1 n b n n . ……6分
（Ⅲ）解法 1： 2( 1) 2 2 1
2 1 2 1
n
n n a a ， *
n N ，
所以 2 n 1 a 是以 1为首项， 2 为公差d 的等差数列， ……7分
所以数列 n a 的前n 奇数项之和为2
1 2
2
( 1)
d n n
n n
na
……8 分
由（Ⅱ）可知， 2 1 2 a n n
，
所以数列 n a 的前n 个偶数项之和为
2 2 2
2
n
a a n n
……10 分
所以S n n
2 2 ， ……11 分
所以 18 2 18 2 S n n .
因为
2 2 2 18 ( 18) 2 n n S S ，且
2 S 1 8 1 6
所以数列 18 2
n
S 是以 16 为首项，2 为公差的等差数列. ……12 分
由 18 2 18 0 2 S n
n
可得n 9 ， ……13分
所以当n 8 或n 9 时，数列 18 2
n
S 的前n 项和n T 的最小值为
72
2
16 9
8 9
T T . ……14分
解法二：由*
2 2 ( 1) ( )
n
n n a a n N 得
2 2 *
2 2 2 2 ( 1) ( , 2 )
n
n n a a n n
N ①， ……7分
2 3 *
2 1 2 3 2 ( 1) ( , 2 )
n
n n a a n n
N ②， ……8分
把①②两个等式相加可得， 2 1 2 2 3 2 2 n n n n a a a a
*
(n N , n 2 ) ，
所以2 2 1 2 2 3 2 2 1 2 a a a a a a n n n n . ……10 分
所以数列 n a 的前2 n 项和S n n
2 2 ， ……11 分
（或：由*
2 2 ( 1) ( )
n
n n a a n N 得
2 1 1 ( 1) 3 ( 3) 5 ...... ( 2 3) ( 2 1) n S n n ……7分
(1 1) [ ( 1) 3] [ ( 3) 5] ...... [ ( 2 n 3) ( 2 n 1) ] ……10分
2 n ……11分）
所以 18 2 18 2 S n n .
因为
2 2 2 1 8 ( 1 8) 2 n n S S ，且
2 S 1 8 1 6
所以数列 18 2
n
S 是以 16 为首项，2 为公差的等差数列. ……12 分
由 18 2 18 0 2 S n
n
可得n 9 ， ……13分
所以当n 8 或n 9 时，数列 18 2
n
S 的前n 项和n T 的最小值为
72
2
16 9
8 9
T T ……14 分
20．（本题14 分）
（Ⅰ）证明：
证法1： f ( x ) ( x x ) ln x
2
的定义域为( 0 , ) ……1 分
由 f ( x ) ( x x ) ln x
2
得
2 1
f '( x ) ( 2 x 1) ln x ( x x ) ( 2 x 1) ln x x 1
x
， ……2 分
f '(1) 0 . ……3分
当x 1 时，( 2 x 1) ln x 0 , x 1 0 ， f '( x ) 0 ，故 f ( x ) 在(1, )上单调递增；
……4 分
当
1
1
2
x 时，( 2 x 1) ln x 0, x 1 0 ， f '( x ) 0 ，故 f ( x ) 在
1
( ,1)
2
上单调递减；
……5 分
(此处为推理说明)
所以1是函数 f ( x ) 的极值点. ……6分
证法2：（根据极值的定义直接证明）
f ( x ) ( x x ) ln x
2
的定义域为( 0 , ) ……1分
f ( x ) x ( x 1) ln x ， f (1) 0 ……3分
当x 1 时，x ( x 1) 0 , ln x 0 , f ( x ) 0 ，即 f ( x ) f (1)； ……4分
当0 x 1时，x ( x 1) 0 , ln x 0 , f ( x ) 0 ，即 f ( x ) f (1)； ……5 分
根据极值的定义， 1是 f ( x ) 的极值点. ……6 分
（Ⅱ）由题意可知，g ( x ) ( 2 x 1) ln x x 1
证法1：
1
g '( x ) 2 ln x 3, x (0 , )
x
，
令
1
h ( x ) 2 ln x 3, x (0 , )
x
，
2 2
2 1 2 1
'( ) 0
x
h x
x x x
，故h ( x ) 在(0 , ) 上单调递增. ……7 分
又
1
(1) 2 0 , ( ) 1 ln 4 ln 0
2 4
e
h h ，又h ( x ) 在(0 , ) 上连续，
0
1
( ,1)
2
x 使得
0 h ( x ) 0 ，即
0 g '( x ) 0 ， ……8分
0
0
1
2 ln x 3 0
x
.（*） ………………9 分
g '( x ) , g ( x )随 x的变化情况如下：
x
0 (0, x ) 0 x 0 ( x , )
g '( x )
0
g ( x )
↘ 极小值 ↗
……10 分
min 0 0 0 0 g ( x ) g ( x ) (2 x 1) ln x x 1 . ……11分
由（*）式得
0
0
1 3
ln
2 2
x
x
，代入上式得
m in 0 0 0 0
0 0
1 3 1 3
( ) ( ) ( 2 1) ( ) 1 2
2 2 2 2
g x g x x x x
x x
. ……12 分
令
1 3 1
( ) 2 , ( ,1)
2 2 2
t x x x
x
，
2 2
1 (1 2 ) (1 2 )
'( ) 2 0
2 2
x x
t x
x x
，故t ( x ) 在
1
( ,1)
2
上单调递减. ……3 分
t ( x ) t (1) ，又t (1) 1， t ( x ) 1 .
即
0 g ( x ) 1 g ( x ) 1 . ……14分
证法2：g ( x ) ( 2 x 1) ln x x 1 2 x ln x ln x x 1, x (0 , ) ，
令h ( x ) 2 x ln x , t ( x ) ln x x 1, x (0, ) ， …7分
h '( x ) 2 ( ln x 1)，令h '( x ) 0 得
1
x
e
. …8 分
h '( x ) , h ( x ) 随x的变化情况如下：
x 1
(0 , )
e
1
e
1
( , )
e
h '( x )
0
h ( x )
↘ 极小值 ↗
m in
1 2
h ( x ) h ( )
e e
，即
2
2 x ln x
e
，当且仅当
1
x
e
时取到等号.……10 分
1
'( )
x
t x
x
，令t '( x ) 0 得x 1 . …11分
t '( x ) , t ( x ) 随 x的变化情况如下：
x (0 ,1) 1 (1, )
t '( x )
0
t ( x )
↘ 极小值 ↗
……12 分
min t ( x ) t (1) 0 ，即x 1 ln x 0 ，当且仅当x 1 时取到等号. ……13 分
2
2 x ln x ( ln x x 1) 1
e
.
即g ( x ) 1 . ……14分
编辑者：哈尔滨家教（哈尔滨家教网)
