1.已知集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
2.设 为虚数单位,已知复数 ,则 的共轭复数在复平面内表示的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.(文)已知函数 是奇函数,当 时, ,则 等于( )
A. B. C.0 D.2
(理)二项式 的展开式的常数项为160,则 的值为( )A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知向量 , 不共线,若 , ,则“ , , 三点共线”是“ 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件
5.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 , ,则输出 的值为( )
A.6 B.7 C.30 D.12
6.已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A.26 B.28 C.52 D.13
7.已知点 , 分别为双曲线 的左、右焦点, 为双曲线左支上的任意一点,且 ,若 为等腰三角形,则该双曲线的离心率为( )A.3 B. C.2 D.
8.已知 , 满足约束条件 ,则 的最小值为( )A.5 B. C.10 D.
9.已知 ,函数 在 上单调递减,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知函数 ,若存在 , ,且 ,使得 成立,则实数 的取值范围是( )A. B. C. D.
11.已知四棱锥 的顶点都在球 的球面上,底面 是矩形,平面 底面 , 是正三角形, ,则球 的表面积为( )
A. B. C. D.
12.如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点 的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则函数的解析式为( )
A. B. C. D.
二.填空题:每题5分,共20分
13.某样本数据的茎叶图如图所示,若该组数据的中位数是85,则该组数据的平均数为 .
14.一简单组合体的三视图及尺寸如图所示(单位: ),该组合体的体积为 .
15.已知抛物线 : 经过圆 : 的圆心,则抛物线 的准线与圆 相交所得过且过弦长为 .
16.已知数列 的前 项和为 ,且 ,则使不等式 成立的 的最大值为 .
三.解答题:17~21每题12分,22题10分,共70分
17.在 中, , , 为角 , , 的对边,且 .
(1)求 ;(2)若 , ,求 .
18.(理)某市为了扶持所属企业发展,市工贸系统决定对所属企业给予低息贷款的扶持.该系统先根据相关评分标准对各个企业进行了评估,并依据评估得分将企业分别评定为优秀、良好、合格、不合格4个等级,然后根据评估等级分配相应的低息贷款金额,其评估标准和贷款金额如下表:
评估得分
评定类型 不合格 合格 良好 优秀
贷款金额(万元) 0 200 400 800
为了更好地掌控贷款总额,该系统随机抽查了所属部分企业的评估分数,得其频率分布直方图如图所示:
(1)估计该系统所属企业评估得分的中位数;
(2)该系统所属企业对照评分标准进行整改,若整改后优秀企业数量不变,不合格企业、合格企业、良好企业的数量依次成等差数列,且系统所属企业获得贷款的均值(即数学期望)不低于410万元,那么整改后不合格企业占企业总数的百分比的最大值是多少?
(理科18题图) (文科18题图)
(文)某企业员工有500人参加“学雷锋”志愿活动,按年龄分组:第1组 ,第2组 ,第3组 ,第4组 ,第5组 ,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)下表是年龄的频数分布表,求正整数 , 的值;
区 间
人 数 50 50
150
(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人,年龄在第1,2,3组的人数分别是多少?
(3)在(2)的前提下,从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动,求至少有1人年龄在第3组的概率.
19.(理)如图(1),在矩形 中, , , 为 边上的点,且 , 与 交于 .现沿 将 折起,连结 、 得到如图(2)所示的几何体.
(1)求证: 平面 ;
(2)当平面 平面 时,求二面角 的余弦值.
(理科19题图) (文科19题图)
(文)如图,在三棱柱 中, 平面 , , 为 边上的点,且 , .
(1)求证: ;
(2)试探究:在 上是否存在点 ,满足 ∥平面 ?若存在,请指出点 的位置;若不存在,说明理由.
20.在平面直角坐标系 中,已知椭圆 : 的离心率 ,且过点 .
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)若动点 在直线 : 上,过 作直线交椭圆 于 , 两点,使得 ,再过 作直线 ,证明:直线 恒过定点,并求出该定点的坐标.
21.设 ,函数 .
(1)若 ,求函数 的单调区间;
(2)当 时,函数 取得极值,证明:对于任意的 , , .
四.选考题:请考生在22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请写清题号
22.选修4—1:几何证明选讲
如图,直线 经过圆 上的点 ,并且 , ,圆 交直线 于 、 .
(1)证明:直线 是圆 的切线;
(2)若 ,圆 的半径为3,求 的长.
23.选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标平面内,直线 过点 ,且倾斜角 .以坐标原点 为极点, 轴的非负半轴为极轴建立坐标系,已知圆 的极坐标方程为 .
(1)求圆 的直角坐标方程;(2)设直线 与圆 交于 、 两点,求 的值.
24.选修4—5:不等式选讲
设 , , 均为正数,且 .证明:
(1) ;(2) .
高三数学测试四参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分
答案 C B B C D A C B D B D A
13.85.3;14.44;15. ;16.4;
17.(1) ;(2) ;
18.(理)(1) ;(2)10%;(文)(1) , ;(2)1,1,4;(3) ;
19.(理)(1)略;(2) ;(文)(1)略;(2) ;
20.(1) (2)过 ;
21.(1)增区间: , ,减区间: ;(2)略;
22.(1)略;(2)5;
23.(1) ;(2)2;
24.(1)略;(2) ;
编辑者:哈尔滨家教(哈尔滨家教网)