一、选择题(本大题共12 小题,每小题5 分,满分60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.)
1.已知集合M=x x 4,N= 2 x y log x ,则M N ( )
A.4, B.,4 C.0,4 D.0,4
2.已知复数z 满足z 1i 1i ,则 z ( )
A. i B.1 C. i D.1
3.命题“ 2 xR, x 4x 4 0 ”的否定是 ( )
A. 2 xR, x 4x 4 0 B. 2 xR, x 4x 4 0
C. 2
0 0 0 x R, x 4x 4 0 D. 2
0 0 0 x R, x 4x 4 0
4.已知等比数列 n a 的公比为正数,前n 项和为n S , 1 2 3 4 a a 2,a a 6,则 8 S 等于( )
A.81 27 3 B.54 C. 8 3 1 D.80
5.已知平面向量a (1,0),
1 3
( , )
2 2
b ,则a与a b的夹角为 ( )
A.
6
B.
3
C.
3
D.
6
6.函数2 f (x) (3 x ) ln x 的大致图象为 ( )
7.多面体MN ABCD的底面ABCD为矩形,其正(主)视图和侧(左)视图如图,其中正(主)
视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则AM 的长为 ( )
p
n 1,S 0
S p?
1
2n S S
n n 1
n
A. 3 B. 5 C. 6
D.2 2
8.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为o 60 ,30 ,此时气球的高是60m,
则河流的宽度BC 等于 ( )
A.30 3 B.30 3 1 C.40 3 D.40 3 1
9.设a,b是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列命题正.确.的是 ( )
A.若a // ,b // ,则a // b B.若a ,b ,a // b,则 //
C.若a / /b,b / / ,a / / ,则 // D.若a ,a ,b ,则b
10.执行如图所示的程序框图后,输出的值为4 ,则p 的取值范围
是 ( )
A.
3 7
4 8
p B.
5
16
p
C.
7 5
8 16
p D.
7 5
8 16
p
11.设D 表示不等式组
1
1
x
y x
x y
所确定的平面区域,在D 内存在
无数个点落在y=a(x+2)上,则a 的取值范围是 ( )
A.R B.(
1
3
,1) C.(0,
1
3
) D.(﹣∞,0]∪[
1
3
,+∞)
12.设 f x是定义在R 上周期为 2的函数,且对任意的实数x,恒有 f x f x 0,当x0 ,1
时, 2 f x 1 x ,则函数 1 x g x f x e 在区间2018 ,2018上零点的个数为 ( )
A.2017 B.2018 C.4034 D.4036
二、填空题(本大题共4 小题,每小题5 分,满分20 分.)
13.已知
1
cos( )
3 3
( )
2
0 ,则sin( ) .
第7 题图
14.已知矩形 ABCD, AB 2,BC 1,则BDCD .
15.已知0 x 函数3 f (x) x 12x的极小值点,则 0 x = .
16.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852 年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”
问题的解法传至欧洲.1874 年,英国数学家马西森指出此法符合1801 年由高斯得出的关于同余式
解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”. “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,
现有这样一个整除问题:将2 至2018 这2017 个数中,能被3 除余1 且被5 除余1 的数,按由小到
大的顺序排成一列,构成数列 n a ,则此数列的项数为 .
三、解答题(本大题共6 小题,满分70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21
题为必考题,每个试题考生都须作答.第22、23 题为选考题,考生只选其一作答.)
17.(本小题满分12 分)已知函数2 ( ) 2cos( ) sin (sin cos )
2
f x x x x x
.
(Ⅰ)求函数 f (x)的单调递增区间;
(Ⅱ)把 y f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再把得到的图
象向左平移
3
个单位,得到函数 y g(x)的图象,求 )
6
(
g 的值.
18.(本小题满分12 分)已知数列 n a 与 n b 满足1 1 2( ) n n n n a a b b , * n N , 2 1 nb n ,
且1 a 2.
(Ⅰ)求数列 n a 的通项公式;
(Ⅱ)设
1
n
n
n n
n
a
c
b , n T 为数列 n c 的前n 项和,求n T .
P
A B
D C
M
19.(本小题满分12 分)2017 年年底,某商业集团根据相关评分标准,对所属20 家商业连锁店进
行了年度考核评估,并依据考核评估得分(最低分60 分,最高分100 分)将这些连锁店分别评定为
A,B,C,D 四个类型,其考核评估标准如下表:
评估得分 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
评分类型 D C B A
考核评估后,对各连锁店的评估分数进行统计分析,得
其频率分布直方图如下:
(Ⅰ)评分类型为A 的商业连锁店有多少家;
(Ⅱ)现从评分类型为A,D 的所有商业连锁店中随机
抽取两家做分析,求这两家来自同一评分类型的概率.
20.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥P ABCD中,
平面 PAD 平面 ABCD , AB//CD , PAD 是等边三角形,已知
BD 2AD8, AB 2DC 4 5.
(Ⅰ)设M 是线段PC上的一点,证明:平面BDM 平面PAD;
(Ⅱ)求四棱锥P ABCD的体积.
21.(本小题满分12 分)已知函数
1
( ) ( )
a
f x a
x
R .
(Ⅰ) 当a=0 时,求曲线f(x)在x =1 处的切线方程;
(Ⅱ) 设函数h(x) aln x x f (x),求函数h(x)的极值;
(Ⅲ) 若g(x) aln x x在[1,e](e=2.718 28…)上存在一点x0,使得 0 0 g(x ) f (x )成立,
求a 的取值范围.
请考生在第22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10 分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线 C 的极坐标方程为 4cos 0,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐
标系,直线l过点M1,0 ,倾斜角为 .
6
(I)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的标准参数方程;
(II)设直线l与曲线C交于A,B 两点,求 MA MB .
23.(本小题满分10 分)选修4-5:不等式选讲
已知函数 f (x) | x m| | 2x 1| (mR).
(I)当m 1时,求不等式 f (x) 2的解集;
(II)设关于x的不等式 f (x) | 2x 1|的解集为 A,且
3
[ , 2]
4
A,求实数m的取值范围.
珠海市斗门区第一中学2017-2018 学年度第一学期期中考试
高 三 年级 (文数)试题
考试时间 120 分钟,总分 150 分, 命题人: 审题人:
注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、
座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将
条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定
区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准
使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、
错涂、多涂的,答案无效.
5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共12 小题,每小题5 分,满分60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.)
1、已知集合M=x x 4,N= 2 x y log x ,则M N ( )D
A.4, B.,4 C.0,4 D.0,4
2、已知复数z 满足z 1i 1i ,则 z ( )B
A. i B.1 C. i D.1
3、命题“ 2 xR, x 4x 4 0 ”的否定是( )C
A. 2 xR, x 4x 4 0 B. 2 xR, x 4x 4 0
C. 2
0 0 0 x R, x 4x 4 0 D. 2
0 0 0 x R, x 4x 4 0
4、已知等比数列an的公比为正数,前n项和为Sn,a1 a2 2,a3 a4 6,则 8 S 等于( )D
A.81 27 3 B.54 C. 8 3 1 D.80
5、已知平面向量a (1,0),
1 3
( , )
2 2
b ,则a与a b的夹角为( )B
A.
6
B.
3
C.
3
D.
6
6、函数2 f (x) (3 x ) ln x 的大致图象为( )C
7、多面体MN ABCD的底面ABCD为矩形,其正(主)视图和侧(左)视图如图,其中正(主)
视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则AM 的长为( )C
A. 3 B. 5
C. 6 D.2 2
8、如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为o 60 ,30 ,此时气球的高是60m,
则河流的宽度BC 等于( )C
A.30 3 B.30 3 1 C.40 3 D.40 3 1
9、设a,b是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )D
A.若a // ,b // ,则a // b B.若a ,b ,a // b,则 //
C.若a / /b,b / / ,a / / ,则 // D.若a ,a ,b ,则b
10、执行如图所示的程序框图后,输出的值为4 ,则p 的取值范围是( )A
A.
3 7
4 8
p B.
5
16
p C.
7 5
8 16
p D.
7 5
8 16
p
11、设D 表示不等式组
1
1
x
y x
x y
所确定的平面区域,在D 内存在无数个点落在y=a(x+2)上,
则a 的取值范围是( )C
A.R B.(
1
3
,1) C.(0,
1
3
) D.(﹣∞,0]∪[
1
3
,+∞)
12、设 f x是定义在R 上周期为 2的函数,且对任意的实数x,恒有 f x f x 0,当x0 ,1
时, 2 f x 1 x ,则函数 1 x g x f x e 在区间2018 ,2018上零点的个数为( )B
A.2017 B.2018 C.4034 D.4036
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4 小题,每小题5 分,满分20 分.)
13、已知
1
cos( )
3 3
( )
2
0 ,则sin( ) . 3 2 2
6
14、已知矩形 ABCD, AB 2,BC 1,则BDCD .4
15、已知0 x 是函数3 f (x) x 12x的极小值点,则 0 x = .2
16、“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852 年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”
问题的解法传至欧洲.1874 年,英国数学家马西森指出此法符合1801 年由高斯得出的关于同余式
解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”. “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,
现有这样一个整除问题:将2 至2018 这2017 个数中,能被3 除余1 且被5 除余1 的数,按由小到
大的顺序排成一列,构成数列 n a ,则此数列的项数为 . 134
p
n 1,S 0
S p?
1
2n S S
n n 1
n
三、解答题(本大题共6 小题,满分70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21
题为必考题,每个试题考生都须作答.第22、23 题为选考题,考生根据要求作答.)
17、(本小题满分12 分)已知函数2 ( ) 2cos( ) sin (sin cos )
2
f x x x x x
.
(1)求函数 f (x)的单调递增区间;
(2)把 y f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变),再把得到的图象
向左平移
3
个单位,得到函数 y g(x)的图象,求 )
6
(
g 的值.
解:(1) 2 ( ) 2cos( )sin (sin cos ) sin 2 cos2 2
2
f x x x x x x x
2 sin(2 ) 2
4
x
……3 分
由2 2 2 ,
2 4 2
k x k k Z
得
3
,
8 8
k x k k Z
……5分
所以 f (x)的单调递增区间是
3
, ,
8 8
k k k Z
……6 分
(2)由(1)知( ) 2 sin(2 ) 2
4
f x x
把 y f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵
坐标不变),得到2 sin( ) 2
4
y x
的图象,再把得到的图象向左平移
3
个单位,得到
( ) 2 sin( ) 2
12
g x x
的图象, ……10 分
即( ) 2 sin( ) 2
12
g x x
,所以( ) 3
6
g
. ……12 分
18、(本小题满分12 分)已知数列 n a 与 n b 满足1 1 2( ) n n n n a a b b , * n N , 2 1 nb n ,
且1 a 2.
(Ⅰ)求数列 n a 的通项公式;
(Ⅱ)设
1
n
n
n n
n
a
c
b , n T 为数列 n c 的前n 项和,求n T .
解:(Ⅰ)因为1 1 2( ) n n n n a a b b , 2 1 nb n ,
所以1 1 2( ) 2(2 1 2 1) 4 n n n n a a b b n n , ……2 分
所以an是等差数列,首项为a1 2,公差为4,即 4 2 na n . ……5 分
(Ⅱ)
1 1
(4 2)
(2 1) 2
(2 1)
n n
n n
n n n
n
a n
c n
b n
. ……6 分
∴ n 1 2 3 n T c c c … c 2 3 1 2 3 2 5 2 (2 1) 2n … n ,①
2 3 4 1 2 1 2 3 2 5 2 (2 1) 2n
nT n … ,② ……8分
① ②得:
2 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 (2 1) 2 n n
nT n …
1
1 4(1 2 )
2 2 (2 1) 2
1 2
n
n n
1 6 (2 3) 2n n , ……11 分
∴ 1 6 (2 3) 2n
nT n . ……12 分
19、(本小题满分12 分)2017 年年底,某商业集团根据相关评分标准,对所属20 家商业连锁店进
行了年度考核评估,并依据考核评估得分(最低分60 分,最高分100 分)将这些连锁店分别评定为
A,B,C,D 四个类型,其考核评估标准如下表:
评估得分 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
评分类型 D C B A
考核评估后,对各连锁店的评估分数进行统计分析,得其频率分布直方图如下:
(Ⅰ)评分类型为A 的商业连锁店有多少家;
(Ⅱ)现从评分类型为A,D 的所有商业连锁店中随机抽取两家做分析,求这两家来自同一评
分类型的概率
解:(Ⅰ)评分类型为A的商业连锁店所占的频率为0.020 ? 10 0.2,
所以评分类型为A 的商业连锁店共有0.2 ? 20 4家;……………….4 分
(Ⅱ)依题意评分类型为D 的商业连锁店有3 家,
设评分类型为A 的4 商业连锁店为1 2 3 4 a ,a ,a ,a ,
评分类型为D 的3 商业连锁店为1 2 3 b ,b ,b ,……………………….6 分
从评分类型为A,D 的所有商业连锁店中随机抽取两家的所有可能情况有
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 1 4 1 1 1 2 1 3 2 3 2 4 2 1 a ,a , a ,a , a ,a , a ,b , a ,b , a ,b , a ,a , a ,a , a ,b ,
( ) ( ) 2 2 2 3 a ,b , a ,b ,( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 3 1 3 2 3 3 a ,a , a ,b , a ,b , a ,b ,( ) 4 1 a ,b ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 4 3 1 2 1 3 2 3 a ,b , a ,b , b ,b , b ,b , b ,b 共21种,………………….10分
其中满足条件的共有9 种,……………………….11 分
所以这两家来自同一评分类型的概率为
9 3
21 7
= .……………………….12 分
20、(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥P ABCD中,平面PAD 平面ABCD, AB//CD,
PAD是等边三角形,已知BD 2AD8, AB 2DC 4 5.
(Ⅰ)设M 是线段PC上的一点,证明:平面BDM 平面PAD;
(Ⅱ)求四棱锥P ABCD的体积.
P
A B
D C
M
(Ⅰ)证明:在△ABD中, AD 4,BD 8, AB 4 5,
∵ 2 2 2 AD BD AB
ADB 90 ,即 AD BD.………………2分
又平面PAD 平面 ABCD,平面PAD 平面 ABCD AD,
BD 平面ABCD,
BD 平面PAD ,………………………………………………………………4 分
又BD 平面MBD,
平面MBD 平面PAD …………………………………………………………5 分
(Ⅱ)解:过P 作PO AD交 AD于O,
又∵平面PAD 平面 ABCD,平面PAD 平面ABCD AD,PO 平面PAD,
PO 平面ABCD…………………………………………………………………6 分
线段PO为四棱锥P ABCD的高,………………………………………………8 分
在四边形 ABCD中,∵ AB∥DC,AB 2DC ,
四边形 ABCD是梯形,在Rt△ADB中,斜边 AB 边上的高为
4 8 8 5
4 5 5
,
即梯形ABCD的高为
5
8 5
,………………………………………………10 分
梯形ABCD的面积为
2 5 4 5 8 5
24
2 5
S
………………………………11 分
1
24 2 3 16 3
3 P ABCD V .…………………………………………………12 分
21、(本小题满分12 分)已知函数
1
( ) ( )
a
f x a
x
R .
(Ⅰ) 当a=0 时,求曲线f(x)在x =1 处的切线方程;
(Ⅱ) 设函数h(x) aln x x f (x),求函数h(x)的极值;
(Ⅲ) 若g(x) aln x x在[1,e](e=2.718 28…)上存在一点x0,使得 0 0 g(x ) f (x )成立,
求a 的取值范围.
解:(Ⅰ) 当a=0 时,f (x) =
1
x
, f (1) =1, 则切点为(1, 1),………………………1
分
P
A B
D C
M
O
∵
2
1
f (x)
x
, ∴切线的斜率为k f (1) 1, ……………………………………2 分
∴曲线f (x)在点(1, 1)处的切线方程为y1= ( x1),即x+ y2=0…………………3 分
(Ⅱ)依题意
1
( ) ln
a
h x a x x
x
,定义域为(0, +∞),
∴
2
2 2 2
1 (1 ) ( 1)[ (1 )]
( ) 1
a a x ax a x x a
h x
x x x x
, ……………………4 分
①当a+1>0,即 a>1时,令h(x) 0,∵x>0,∴0<x<1+ a,
此时,h(x) 在区间(0, a+1)上单调递增
令h(x) 0,得 x>1+ a.
此时,h(x)在区间(a+1,+∞)上单调递减. ……………………………………5 分
②当a+1≤0,即 a≤1时,h(x) 0恒成立, h(x)在区间(0,+∞)上单调递减. ………6分
综上,当a>1时,h(x)在 x=1+a处取得极大值 h(1+a)=aln(1 a) a 2,无极小值;
当a≤1 时,h(x)在区间(0,+∞)上无极值. ………………………………………7 分
(Ⅲ) 依题意知,在[1, e]上存在一点x0,使得0 0 g(x ) f (x )成立,
即在[1, e]上存在一点x0,使得h(x0)≥0,
故函数
1
( ) ln
a
h x a x x
x
在[1, e]上,有h(x)max≥0. ………………………………8 分
由(Ⅱ)可知,①当a+1≥e, 即a≥e1 时,h(x)在[1, e]上单调递增,
∴ max
1
( ) (e) e 0
e
a
h x h a
, ∴
e2 1
e 1
a
,
∵
e2 1
e 1
e 1
,∴
e2 1
e 1
a
. ………………………………………………………9 分
②当0<a+1≤1,或a≤1,即a≤0 时,h(x)在[1, e]上单调递减,
∴ max h(x) h(1) 11 a 0,∴a ≤2. ……………………………………………10分
③当1<a+1<e,即0<a<e1 时,
由(Ⅱ)可知,h(x)在x=1+a 处取得极大值也是区间(0, +∞)上的最大值,
即 h(x)max=h(1+a)=aln(1 a) a 2 a[ln(1 a) 1] 2,
∵0<ln(a+1)<1, ∴h(1+a)<0 在[1, e]上恒成立,
此时不存在x0 使h(x0)≥0 成立.……………………………………………………………11 分
综上可得,所求a 的取值范围是
e2 1
e 1
a
或a≤2. ……………………………………12 分
请考生在第22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22、(本小题满分10 分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线 C 的极坐标方程为 4cos 0,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐
标系,直线l过点M1,0 ,倾斜角为 .
6
(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的标准参数方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B 两点,求 MA MB .
解:(1)对于C:由2 2 2 4cos得 4 cos,x y 4x ……2分
对于l : 有
3
1
2
1
2
x t
t
y t
为参数
……4 分
(2)设A,B 两点对应的参数分别为1 2 t , t
将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程2 2 x y 4x 0
得
2
2 3 1 3
1+ 4 1 0
2 4 2
t t t
化简得2 t 3t 3 0 ……6分
1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
3, 3
4 15
t t t t
MA MB t t t t t t t t
……10 分
23、(本小题满分12 分)选修4-5:不等式选讲[
已知函数 f (x) | x m| | 2x 1| (mR).
(I)当m 1时,求不等式 f (x) 2的解集;
(II)设关于x的不等式 f (x) | 2x 1|的解集为 A,且
3
[ , 2]
4
A,求实数m的取值范围.
解:(I)当m 1时, f (x) | x 1| | 2x 1|,
f (x) 2 | x 1| | 2x 1| 2,
上述不等式可化为
1
2
1 1 2 2
x
x x
或
1
1
2
1 2 1 2
x
x x
或
1
1 2 1 2
x
x x
解得
1
2
0
x
x
或
1
1
2
2
x
x
或
1
4
3
x
x
……………………………………3 分
∴
1
0
2
x 或
1
1
2
x 或
4
1
3
x , ……………………… ……………4分
∴原不等式的解集为
4
{ | 0 }
3
x x .……………………………………………5 分
(II)∵ f (x) | 2x 1|的解集包含
3
[ , 2]
4
,
∴当
3
[ , 2]
4
x 时,不等式 f (x) | 2x 1|恒成立,…………………………………6分
即| x m| | 2x 1|| 2x 1|在
3
[ , 2]
4
x 上恒成立,
∴| x m| 2x 1 2x 1,
即| x m| 2,∴2 xm 2,………………………………………………7 分
∴x2 m x2在
3
[ , 2]
4
x 上恒成立,…………………………………8 分
∴ max min (x 2) m (x 2) , ∴
11
0
4
m ,
所以实数m的取值范围是
11
[ ,0]
4
.………………………………………………10 分
编辑者:哈尔滨家教(哈尔滨家教网)